Logarithme Néperien – correction des exercices Page 1 sur 2
Terminale S. – Lycée Desfontaines – Melle
Correction exercice 7
Soit f la fonction définie par f(x)=ln(2x+1)
x et g la fonction définie par g(x)= 2x
2x+1−ln(2x+1) 1. Ensemble de définition de g.
Ιg = {x☻IR/ 2x+1ý0 et 2x+1>0} =
-1 2;+õ 2. Sens de variation de g.
• u : x→ 2x
2x+1 est une fonction rationnelle donc dérivable sur son ensemble de définition donc en particulier sur
-1
2;+õ .
• v: x→2x+1 est dérivable sur
-1
2;+õ et est strictement positive sur cet intervalle donc la fonction composée w=lnv est dérivable sur
-1
2;+õ . On déduit donc que g=u+w est dérivable sur
-1
2;+õ et g′=u′+v′
v
┐x>-1
2, g′(x)=2(2x+1)−2x×2
(2x+1)2 − 2
2x+1= 2
(2x+1)2−2(2x+1)
(2x+1)2=2−4x−2
(2x+1)2= -4x (2x+1)2 Or, ┐x>-1
2, (2x+1)2>0 donc g′(x) est du signe de -4x.
On déduit que
si x☻
-1
2;0 g′(x)>0 g′(0)=0
si x>0 g′(x)<0 Ainsi g est strictement croissante sur
-1
2;0 et strictement décroissante sur [0;+õ[.
Tableau de variation de g.
x
−1
2
0 +
∞signe de g’(x) + 0
−0
gg est croissante sur
-1
2;0 donc ┐x☻
-1
2;0 g(x)Âg(0) et g(0)=0 donc g(x)Â0 g est décroissante sur [0;+õ[ donc ┐x☻[0;+õ[ g(x)Âg(0) et g(0)=0 donc g(x)Â0.
Donc ┐x☻
- 1
2 ;+õ g(x)Â0 3. Variations de f.
Ensemble de définition de f.
Ιf = {x☻IR/2x+1>0 et xý0}=
-1
2;0 ∟]0;+õ[ Limites aux bornes ouvertes de Ιf.
En -1 2: lim
x↔ -1 2
2x+1=0 et pour x>-1
2, 2x+1>0. Donc lim
x↔-12 x>-1 2
ln(2x+1)= lim
X↔0 X>0
lnX=-õ
lim
x↔ -1 2
x=-1
2 donc lim
x↔-12 x>-1 2
f(x)=+õ.
En +õ : f(x)=ln(2x+1)
2x+1 ×2x+1 x lim
x↔+õ
ln(2x+1) 2x+1 = lim
X↔+õ
ln(X)
X =0 (avec X=2x+1) et lim
x↔+õ
2x+1 x = lim
x↔+õ
2x
x =2 (car à l’infini…) donc lim
x↔+õ f(x)=0 En 0 : f(x)=ln(2x+1)
2x ×2
Logarithme Néperien – correction des exercices Page 2 sur 2 lim
x↔0
ln(2x+1) 2x = lim
h↔0
ln(1+h)
h =1 (en posant h=2x) donc lim
x↔0f(x)=2 Dérivabilité :
x→2x+1 est dérivable et strictement positive sur Ιf donc x→ln(2x+1) est dérivable sur Ιf. De plus x→x est dérivable et ne s’annule pas sur Ιf donc f =u
v est dérivable sur Ιf et f′=u′v−u v′ v2
┐x☻Ιf, f′(x)=
2
2x+1×x−ln(2x+1)×1 ×1
x2=g(x) x2
Sur Ιf, x2>0 donc f′(x) est du signe de g(x). Or ┐x☻Ιf , g(x)<0 donc f′(x)<0 donc f est strictement décroissante sur
-1
2;0 et sur ]0;+õ[ . On en déduit le tableau des variations de f :
x −
1
2
0 +∞
signe de f
′(x) +
−+õ
2
f
2
04. Soit h la fonction définie sur
-1
2;+õ par h(0)=a
┐xý0,h(x)=f(x) Déterminer a tel que h soit continue sur
-1 2;+õ h est continue sur chaque intervalle de Ιf car f est dérivable sur Ιf.
Etude de la continuité en 0.
lim
x↔0 h(x)= lim
x↔0 f(x)=2. Or h est continue en 0 ssi lim
x↔0h(x)=h(0) ssi a=2 Ainsi h est continue sur
-1
2;+õ ssi a=2
