Correction de l’exercice 9 Soit f

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Logarithme Néperien – correction des exercices Page 1 sur 1

Terminale S. – Lycée Desfontaines – Melle

Correction de l ’ exercice 9

Soit f la fonction définie par f(x)=ln

(

1+e²^x

)

et C sa courbe représentative dans un repère orthonormé.

1. Ensemble de définition de f

D

_f= {x☻IR/1+e^2x>0}. Or, ┐x☻IR, 1+e^2x>0 donc

D

_f= IR

Limites en +õ et en –õ. lim

x↔+õe^2x= lim

X↔+õe^X=+õ et lim

x↔+õln

(

1+e^2x

)

= lim

Y↔+õln(1+Y)=+õ donc lim

x↔+õf(x)=+õ lim

x↔-õe^2x= lim

X↔-õe^X=0 et lim

x↔-õln

(

1+e^2x

)

= lim

Y↔0ln(1+Y)=ln(1)=0 car ln est continue en 1 donc lim

x↔-õf(x)=0

2. Sens de variation de f.

u : x→1+e²^x est dérivable et strictement positive sur IR donc f=lnu est dérivable sur IR et f ′=u′ u d o nc ┐x☻IR, f ′(x)= 2e^2x

1+e^2x.

Or, ┐x, e²^x>0 donc f ′(x)>0 d’où f est strictement croissante sur IR.

3. Montrons que ∆ d’équation y=2x est asymptote à C au voisinage de +õ. Pour montrer que ∆ est asymptote à C voisinage de +õ, on doit montrer que lim

x↔+õf(x)−2x=0 Or, f(x)−2x=ln

(

1+e²^x

)

−ln

(

e²^x

)

=ln

 

 

1+e^2x e^2x =ln

 

 

1+ ¹ e^2x On a lim

x↔+õf(x)−2x= lim

x↔+õln

 

 

1+ ¹

e^2X = lim

X↔+õln

 

 

1+¹

X = lim

Y↔1lnY=ln1=0 Donc, ∆ est bien asymptote à C au voisinage de +õ.