Logarithme Néperien – correction des exercices Page 1 sur 1
Terminale S. – Lycée Desfontaines – Melle
Correction de l ’ exercice 9
Soit f la fonction définie par f(x)=ln
(
1+e2x)
et C sa courbe représentative dans un repère orthonormé.1. Ensemble de définition de f
D
f= {x☻IR/1+e2x>0}. Or, ┐x☻IR, 1+e2x>0 doncD
f= IRLimites en +õ et en –õ. lim
x↔+õe2x= lim
X↔+õeX=+õ et lim
x↔+õln
(
1+e2x)
= limY↔+õln(1+Y)=+õ donc lim
x↔+õf(x)=+õ lim
x↔-õe2x= lim
X↔-õeX=0 et lim
x↔-õln
(
1+e2x)
= limY↔0ln(1+Y)=ln(1)=0 car ln est continue en 1 donc lim
x↔-õf(x)=0
2. Sens de variation de f.
u : x→1+e2x est dérivable et strictement positive sur IR donc f=lnu est dérivable sur IR et f ′=u′ u d o nc ┐x☻IR, f ′(x)= 2e2x
1+e2x.
Or, ┐x, e2x>0 donc f ′(x)>0 d’où f est strictement croissante sur IR.
3. Montrons que ∆ d’équation y=2x est asymptote à C au voisinage de +õ. Pour montrer que ∆ est asymptote à C voisinage de +õ, on doit montrer que lim
x↔+õf(x)−2x=0 Or, f(x)−2x=ln
(
1+e2x)
−ln(
e2x)
=ln
1+e2x e2x =ln
1+ 1 e2x On a lim
x↔+õf(x)−2x= lim
x↔+õln
1+ 1
e2X = lim
X↔+õln
1+1
X = lim
Y↔1lnY=ln1=0 Donc, ∆ est bien asymptote à C au voisinage de +õ.