Correction exercice 8 Soit f

Logarithme Néperien – correction des exercices Page 1 sur 1

Terminale S. – Lycée Desfontaines – Melle

Correction exercice 8

Soit f la fonction définie sur [0;+õ[ par

 



┐x>0, f(x)=xln

 

 

1+² x

1. Montrons que ┐x>0, f(x)=xln(x+2)−xln(x)

Po ur x>0 , f(x)=xln

 

 

x+2

x =xln(x+2)−xln(x) car x>0 et x+2>0

2. Continuité de f en 0.

lim

x↔0 x+2=2 donc lim

x↔0xln(x+2)=0 et lim

x↔0xln(x)=0 donc lim

x↔0f(x)=0 Or, f(0)=0 donc lim

x↔0f(x)=f(0) donc f est continue en 0.

3. Limite de f en +õ. lim

x↔+õf(x)= lim

x↔+õ xln

 

 

1+²

x = lim

h↔0

2

hln(1+h )=2 lim

h↔0

ln(1+h)

h =2×1=2 (en posant h=2 x) 4. Dérivabilité en 0

┐h>0, τ₀(h)=f(0+h)−f(0) h =hln

 

 

1+² h h =ln

 

 

1+² h D’où ┐h>0, lim

h↔0τ₀(h)= lim

h↔0ln

 

 

1+²

h = lim

X↔+õln(1+X)=+õ d o nc f n’est donc pas dérivable en 0

Remarque : Nous sommes en présence dans cet exercice d’une fonction qui n’est pas dérivable en 0 mais qui est continue en 0.