CORRECTION DES EXERCICES 6, 7 ET 8 DE LA FICHE
Exercice 6
Soit la fonction définie sur par . 1. On résout 2sin(x) 1 0.
2sin(x) 1 0 sin(x) 1 2
Dans [0 ] (moitié "haute" du cercle), sin(x) 1 2 ssi
6 x 5
6 De même, sin(x) 1
2 ssi 0
6 0 ou 5
6 x .
2. Pour tout x de [0 ], f(x) sin(x)(2sin(x) 1).
On peut construire le tableau suivant :
x 0 /6 5 /6 sin(x)
2sin(x) 1 f(x)
Exercice 7 Partie A
1. g est définie et dérivable sur [0 2 ].
Pour tout x de [0 2 ], g (x) 3cos(x) 3 3(1 cos(x)) Pour 0 x 2 , cos(x) 1 donc 1 cos(x) 0.
Pour x 0 ou x=2 , 1 cos(x) 0 On a le tableau de signes suivant :
x 0 2 3
1 cos(x) g (x)
g(x ) 6
0
2. Le minimum de g sur [0 2 ] est 0 donc on a le tableau : x 0 2
g(x) Partie B
Soit la fonction définie sur ℝ par . 1.
a. Soit x un réel. f(x 2 ) 1 3sin(x 2 ) 1 3sin(x) f(x) car la fonction sin est 2 - périodique donc sin(x 2 ) sin(x).
Exprimer en fonction de . b. f est donc 2 -périodique.
2. f est dérivable sur [0 2 ]. Pour tout x de [0 2 ], f (x) 3 cos(x) On a le tableau suivant :
x 0 /2 3 /2 2 3
cos(x) f (x)
f(x) 1 4
2 1 3.
a. T a pour équation y f (0)(x 0) f(0) f(0) 1 3sin(0) 1 et f (0) 3cos(0) 3.
Ainsi T a pour équation y 3x 1.
b. On étudie le signe de f(x) ( 3x 1) 1 3sin(x) 3x 1 3sin(x) 3x g(x) où g est la fonction étudiée dans la partie A.
D après la question A2, g(x) est positif sur [0 2 ] donc C est au-dessus de T sur [0 2 ].
Exercice 8
f est la fonction définie sur par f(x) x² 2sin(x).
1. Étude de f
a. f est dérivable sur . Pour tout réel x, f (x) 2x 2 cos(x).
f est dérivable sur . Pour tout réel x, f (x) 2 2sin(x)
Pour tout ré el x, 1 sin(x) 1 donc 2 2sin(x) 2 donc 0 f (x) 4.
De plus, f (x) s annule ssi sin(x) 1 donc en une seule valeur de x pour chaque intervalle d amplitude 2 .
Alors la fonction f est strictement croissante sur . b. f (x) 2x 2cos(x).
Pour tout x de , 1 cos(x) 1 donc 2 2cos(x) 2 donc 2x 2 f (x) 2x 2.
Pour tout x de , f (x) 2x 2 et lim
x
2x 2 donc lim
x
f (x) par comparaison Pour tout x de , f (x) 2x 2 et lim
x
2x 2 donc lim
x
f (x) par comparaison c. f est continue et strictement croissante sur ; lim
x
f (x) ; lim
x
f (x) et 0 ] [ donc l équation f (x) 0 admet une unique solution sur , notée .
d. D après la calculatrice, 0,7 0,8.
2. On a donc le tableau suivant :
x f (x)
f(x) f( )
f(x) x² 2sin(x).
Pour tout réel x, 1 sin(x) 1 donc 2 2sin(x) 2 donc x² 2 f(x) x² 2 f(x) x² 2 et lim
x
x² 2 donc lim
x
f(x) par comparaison.
3. f ( ) 0 donc 2 2cos( ) 0 donc cos( )
Alors cos²( ) ² et donc sin²( ) 1 ² puisque cos²( ) sin²( ) 1.
Ainsi, sin( ) 1 ² ou sin( ) 1 ²
0 0,7 0,8
2 donc sin( ) 0. Alors sin( ) 1 ²
On a donc f( ) ² 2sin( ) ² 2 1 ²
