  CORRECTION DES EXERCICES 6, 7 ET 8 DE LA FICHE

CORRECTION DES EXERCICES 6, 7 ET 8 DE LA FICHE

23 page 182.

On cherche la limite en . sin( x) n a pas de limite en . On pense aux th de comparaison ou au th des gendarmes.

Pour tout x de , sin(x ) 1 donc x sin( x) x 1.

lim

x

x 1 donc, par comparaison, lim

x

x sin(x ) .

96 page 219 question b.

f( x) 5cos

 

  2x 3 . La valeur moyenne de f sur

 

 

0 2 est 1

2 0   

0

2 f( x)dx

On cherche une prim itive de f en faisant apparaître u cos(u ) avec u( x) 2x

3 et donc u (x ) 2.

f( x) 5 1 2 2cos

 

  2x 3

Alors = 2

 

 

 

  5

2 sin

 

  2x 3 ₀

2

2  

  5

2 sin

 

  4

3 5 2 sin

 

  3

5 3

8 page 174

P( x) 2 x ³ x² 5 x 2.

1. P(1) 2 1 ³ 1² 5 1 20 donc 1 est une racine de P.

2. Pour tout x de :

(x 1)(a x² bx c) ax ³ bx ² cx ax ² bx c ax ³ (b a )x ² ( c b) x c On i denti fie :

P(x ) (x 1)(a x² b x c) pour tout x de ssi

 

 ^{a 2}

b a 1

c b 5

c 2

ssi

 

 ^{a 2}

b 1 2 3

c 5 3 2

c 2

On trouve bien la même valeur de c avec les deux équations donc on peut bien mettre x 1 en facteur.

Ainsi, pour tout x de , P(x ) ( x 1)(2 x² 3x 2).

3.

a. Signe de 2x ² 3x 2 : 25 ; x 1 2 et x 2

1 2 ; On a le tableau suivant :

x 2 1/2 1 x 1

2x ² 3x 2 P( x)

b. D après le tableau, 2cos ³ ( x) cos²(x) 5cos( x) 2 0  cos( x ) 2 ou 1

2 cos(x ) 1 cos(x ) 2 n a pas de solution car pour tout réel x, cos( x ) 1.

Dans ] ], cos(x ) 1

2 a pour ensemble de solutions

 

  3 3 . Ainsi, S

 

 

3 3 .

POUR CEUX QUI VEULENT CONTINUER LES MATHS

27 page 204

1. Soit x un reel.

cos(2x) cos( x x) cos(x )cos(x ) sin(x )sin(x ) cos²( x) sin²( x).

1 2

cos(2x) 2

1 2

cos²( x) sin²(x ) 2

1 cos²( x) sin²(x) 2

On veut "se débarasser" du sin². On va utiliser cos²(x ) sin²(x) 1, c est à dire sin²(x ) 1 cos²( x).

Alors, 1 2

cos(2x) 2

1 cos²( x) 1 cos²( x) 2

2cos²(x )

2 cos²( x) 2. I  

0

cos²( x)dx

 

0

1 2

cos( 2x )

2 dx

 

  1

2 x 1

4 sin(2x)

0 2

1

4 sin(2 ) 0 1 4 sin(0)

2 . 92 page 219

1. J

 



0

2 cos(t) 1 2sin(t) dt On cherche à faire apparaître u

u avec u( t) 1 2sin(t ) et donc u (t ) 2cos( t).

J   

0 2 1

2

2cos( t) 1 2sin(t) dt

 

  1

2 ln(1 2sin(t))

0

2 1

2 ln(3) 1

2 ln(1) 1 2 ln(3).

2. I J

 



0

2 sin(2 t) 1 2sin(t) dt

 



0

2 cos(t) 1 2sin(t) dt

 



0

2 sin(2 t) cos( t) 1 2sin(t) dt sin(2t) sin( t t) sin( t)cos(t ) sin(t )cos( t) 2sin(t)cos( t)

Alors sin(2t ) cos(t ) 1 2sin(t )

2sin(t )cos(t ) cos(t ) 1 2sin(t )

cos(t)(1 2sin( t))

1 2sin(t) cos( t) Donc I J

 



0

2 cos(t )

 

  sin( t)

0

2 sin

 

 

2 sin(0) 1 On a I J 1 et J 1

2 ln(3) don I I J J 1 1

2 ln(3)