Correction exercice

Logarithme Néperien – correction des exercices Page 1 sur 1

Terminale S. – Lycée Desfontaines – Melle

Correction exercice 5

Soit f la fonction définie sur ]0;+õ[ par f(x)=ln²(x)−ln(x)−6.

1. Limites de f en 0 et en +õ.

Li mite en 0: ┐x>0, f(x)=ln²(x)−ln(x)−6.

lim

x↔0 x>0

ln(x)=-õ donc lim

x↔0 x>0

ln²(x)=+õ et lim

x↔0 x>0

-lnx=+õ d’où lim

x↔0 x>0

f(x)=+õ Li mite en +õ : ┐x>0 , f(x)=ln²(x)

 

 

1− ¹ ln(x)− ⁶

ln²(x) lim

x↔+õln(x)=+õ donc lim

x↔+õ

1

lnx= lim

x↔+õ

6

ln²(x)= 0 d’où lim

x↔+õf(x)= lim

x↔+õln²(x)=+õ 2. Sens de variation de f.

f est dérivable sur ]0;+õ[ comme somme de fonctions dérivables sur ]0;+õ[ et

┐x>0, f′(x)=2× 1

x ln(x)− 1 x =1

x(2 ln(x)−1).

┐x>0; 1

x>0 donc f′(x) est du signe de 2 ln(x)−1.

Or,



 

^{2 ln(x)−1>0ñln(x)>12ñx>e}

1

2 et x>0ñx> e 2 ln(x)−1=0ñln(x)=¹

2ñx=e

1

2ñx= e

2 ln(x)−1<0ñln(x)<¹

2ñx<e¹² et x>0ñ0 <x< e

Ainsi



 

^f ′(x)>0 si x☻

]

^e;+õ

^[

f ′

(

^e

)

=0

f ′(x)<0 si x☻

]

^{0; e}

^[

donc f est strictement décroissante sur

]

^{0; e}

[

, strictement croissante sur

[

^e;+õ

^[

3. Signe de f.

f(x)=ln²(x)−ln(x)−6

So it P le polynôme défini par P(X)=X²−X−6

Son discriminant est ∆=25>0 donc P admet deux racines distinctes X₁=1−5

2 =-2 et X₂=1+5

2 =3

Donc P(X)=(X+2)(X−3). D’où f(x)=(ln(x)+2)(ln(x)−3)

Or

  

^{ln(x)+2>0ñln(x)>-2ñelnx>e-2ñx>e-2 et x>0}

ln(x)+2<0ñln(x)<-2ñe^lnx<e^-2ñx<e^-2 et x>0 ln(x)+2=0ñln(x)=-2ñe^lnx=e^-2ñx=e^-2

Et

  

^{ln(x)−3>0ñln(x)>3ñelnx>e3ñx>e3 et x>0}

ln(x)−3<0ñln(x)<3ñe^lnx<e³ñx<e³ et x>0 ln(x)−3=0ñln(x)=3ñe^lnx=e³ñx=e³

x 0 e

^-2

e

³

+

∞

ln(x)+2 - 0 + +

ln(x)-3 - - 0 +

f(x) + 0 - 0 +

D’où



 

^f(x)>0ñx☻

]

^0;e-2

^[

^∟

]

^e3;+õ

^[

f(x)<0ñx☻

]

^e-2;e3

^[

f(x)=0ñx☻

{

^e-2;e³

}

. Interprétation graphique :

La courbe représentative de f se situe donc au dessus de l’axe des abscisses sur

]

0;e^-2

]

et sur

[

^e3;+õ

[

et en dessous de l’axe des abscisses sur

[

^e-2;e³

]

.