Chapitre 5 1ière S
APPLICATIONS DE LA DERIVATION
I Sens de variation
Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I et strictement croissante sur I, en utilisant le taux de variation démontrez que la fonction dérivée f' est positive.
Remarque: on démontre de la même manière que la dérivée d'une fonction décroissante est négative.
Théorème (admis): Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I
Si f' est nulle sur I , alors la fonction f est constante sur I
Si f' est strictement positive sur I , alors la fonction f est strictement croissante sur I
Si f' est strictement négative sur I , alors la fonction f est strictement décroissante sur I
Exemple: Etudiez les variations de f(x) = 3x3 – 5 x2 + 7
Exercices:1, 5, 12, 26, 28, 29, 30, 49, 50 page 98
Stepec Page 1 sur 4 tempfile_626.doc
Chapitre 5 1ière S
II
Extremum local, Majorant, minorant 1) Extremum local ( ou relatif )
Définition: Soit f une fonction définie sur un intervalle I et c un réel de I distinct des extrémités.
Dire que M = f(c) est un maximum local (resp. m =f(c) est un minimum local) de f en c signifie qu'il existe un intervalle ouvert J I , contenant c tel que pour tout x J, f(x) ≤ f(c) (resp. . f(x) ≥ f(c) ) .
2) Utilisation de la dérivée pour trouver les extremums Théorème (admis)
Soit f une fonction dérivable sur un intervalle ouvert I et c un réel de I .
Si f admet un extremum local en c , alors f’(c) = 0 .
Conséquences graphiques On a f’(c) = 0 , ainsi le coefficient directeur de la tangente à Cf en c est nul ; la tangente est horizontale.
Remarque:
Il est important que I soit ouvert .
Ex : f : x x ² et I = [ 0 ; 1 ] , f ( 1 ) = 1 est le maximum de f sur I et pourtant f ’ ( 1 ) = 2 …
Une fonction non dérivable en un réel , peut admettre un extremum en ce réel.
Ex : Pensez à la fonction valeur absolue qui n’est pas dérivable en 0 …
La réciproque de ce théorème est fausse . ( Si f ’( c ) = 0 , on n’a pas forcément un extremum en c …) Ex
: f : x x 3 , f ’ ( 0 ) = 0 et pourtant f ( 0 ) n’est pas un extremum local de f … Théorème: Soit f une fonction dérivable sur un intervalle ouvert I et c un réel de I .
Si la dérivée f ’ s’annule en c en changeant de signe, alors f ( c ) est un extremum local de f sur I.
3) Majorant, minorant
Soit f une fonction définie sur D et I une partie de D.
On appelle Majorant (resp. minorant) de f sur I ,un nombre M (resp. m) tel que pour tout x I, f(x) ≤ M ( resp. f(x) ≥ m ).
Le maximum de f sur I est le plus petit des majorants.
Le minimum de f sur T et le plus grand des minorants.
Exercices: 31, 32, 33 page 99, 60, 61 page 103
Stepec Page 2 sur 4 tempfile_626.doc
a O c d e g b
Cf Sur l’intervalle [ a ; b ] , la fonction f représentée ci- contre admet un maximum en e et un minimum en d .
« Autour » de c et de g , on remarque que le comportement de f n’est pas banal …
On constate que localement f admet un maximum en c et un minimum en g .
Plus précisément :
Cf c x
0 y f ( c )
C
Chapitre 5 1ière S
III
Equations f(x) = 0
1) Notion de continuité sur un intervalle
Définition 1 (intuitive) : Soit f une fonction définie sur un intervalle I. On dit que f est continue sur I si sa représentation graphique est d'un seul tenant sur I.
Exemples et contre-exemples :
La fonction représentée ci-contre est non continue sur -1 ; 3] : en effet, elle n'admet pas de limite en 1 (la courbe fait un "saut"). Néanmoins, elle est continue sur -1 ; 1[ et sur ]1 ; 3].
Toute fonction polynôme est continue sur R.
Théorème 1 : Toute fonction dérivable sur un intervalle I est continue sur cet intervalle.
Ensemble image: Soit f une fonction définie sur un intervalle I. L'image de I, notée f(I), est l'ensemble de tous les nombres f(x) où x I.
Exemple:
f(x) = x2 et I = ]-1 ; 2] alors f(I) = J [0 ; [ alors f(J) K [0 ; 2] alors f(K)
Remarque : Soit une fonction dérivable (donc continue) sur un intervalle I. Si on suppose de plus que
est strictement monotone alors :
([a ; b]) [(a) ; (b)] lorsque est strictement croissante
([a ; b]) [(b) ; (a)] lorsque est strictement décroissante 2) Théorème des valeurs intermédiaires (T.V.I.)
Exercice : illustrer ce théorème et avec une autre illustration, expliquer qu'il ne s'applique pas si n'est pas continue.
3) Cas d'une fonction continue strictement monotone
Stepec Page 3 sur 4 tempfile_626.doc
Théorème des valeurs intermédiaires :
Soit une fonction dérivable (donc continue) sur un intervalle I [a,b]. Alors, pour tout réel intermédiaire entre (a) et (b), il existe (au moins) un réel c tel que ( c ) .
(Autrement dit, l'équation (x) admet au moins une solution dans I)
Chapitre 5 1ière S
Soit une fonction dérivable (donc continue) sur un intervalle I. Le T.V.I. affirme l'existence d'au moins une solution dans I à l'équation (x) lorsque est intermédiaire entre (a) et (b). Quelle condition ajouter pour avoir une solution unique ?
Démonstration: Soit f une fonction strictement monotone sur I [a ; b] et un réel intermédiaire entre ( a ) et ( b ). D'après le théorème des valeurs intermédiaires, nous avons l'existence d'au moins un réel c dans I tel que (c) . Montrons que ce réel c est unique.
1ièrement supposons qu'il existe un autre réel c' I tel que (c') .
Si c < c' , alors (c) < (c') (lorsque est strictement croissante) ou (c) > (c') (lorsque est strictement décroissante). Donc (c) (c'), c'est-à-dire , ce qui est absurde.
2ièment on raisonne de même si c > c' pour aboutir à la même absurdité.
Conclusion: Donc on a nécessairement c c' on en déduit que le réel c est unique.
Exercice : illustrer ce théorème.
Exemple : soit la fonction définie par (x) x3 x 1. Démontrer que l'équation (x) 0 admet une unique solution dans l'intervalle [1 ; 0].
Remarque : Lorsque les conditions du théorème de bijection sont réunies, on dit que réalise une bijection de I sur (I) (chaque élément de (I) admet un unique antécédent dans I) Exercices: 35, 37 page 99, 63, 65 page103 pages 106-107 et73, 74,78
Stepec Page 4 sur 4 tempfile_626.doc
Théorème de bijection:Soit une fonction dérivable (donc continue) et strictement monotone sur un intervalle I [a ; b]. Pour tout réel intermédiaire entre (a) et (b), il existe un unique réel c I tel que (c) .
(Autrement dit : l'équation (x) admet une et une seule solution dans I)
