Master 1 MEEF 2013 - 2014 Capes Externe
UE 2 Epreuve sur dossier
13/09/2013
DOSSIER An 2
Thème : Utilisation du sens de variation d’une fonction
L’exercice
On considère la fonction numérique f de la variable réelle x définie pour tout réel non nul par : f (x) = sin(x) – x
x3 .
1. a) Etudier les variations de la fonction g définie sur [0 ; +[ par : g (x) = x – sin (x).
b) En déduire que, pour x 0 : x sin (x).
2. Montrer que, pour x 0, on a successivement : a) 1 – x2
2 cos (x) ; b) x – x3
6 sin (x) ; c) cos (x) 1 – x2
2 + x4
24 ; d) sin (x) x – x3 6 + x5
120 . 3. a) En déduire un encadrement de f (x) sur ]0 ; + [.
b) Déterminer alors la limite de f en 0.
Les réponses proposées par un élève aux questions 1 et 2
1. a) g’(x) = 1 – cos (x) : g est croissante car sa dérivée est toujours positive.
b) x sin (x) parce que, sur le graphique, la droite x est bien au – dessus de sin(x), c’est même la tangente en 0.
2. a) Si on dérive 1 – x2
2 et cos (x), on trouve – x et - sin(x). On a vu que x sin (x), ce qui fait – x - sin (x) et donc x sin(x), ce qu’on a démontré à la question a).
b) On fait pareil : on dérive l’inégalité et on trouve l’inégalité vue en b).
c) On fait pareil, mais il faut ensuite prendre l’inverse de l’inégalité pour trouver le résultat.
d) On fait pareil et on trouve l’inégalité du c).
Le travail à exposer devant le jury
1. Analysez la production de l’élève en mettant en évidence les compétences acquises et en précisant l’origine de ses éventuelles erreurs.
2. Présentez une correction des questions 2 a) et 3 b) telle que vous l’exposeriez devant une classe de terminale scientifique.
3. Proposez deux ou trois exercices se rapportant au thème « Utilisation du sens de variation d’une fonction ».
