CORRECTION DE L EXERCICE 5 DE LA FICHE
Exercice 5
1. sin(x) 1 2
On place 1/2 sur l axe vertical des sinus et on repère les deux points A et B du cercle qui correspondent.
On sait que sin
6
1
2 (tableau du cours à connaître par cœur) donc A est le point image de
6 et B est le point image de
6 5
6 .
On repasse en vert la partie de l axe des sinus qui correspond à sin(x) 1
2 puis la partie du cercle qui correspond à ces sinus.
Pour déterminer l ensemble des solutions dans [ ], on part de I (à gauche du cercle) et on tourne dans le sens direct.
De I jusqu à A (donc de à
6), le sinus est inférieur à 1
2. De A à B (donc de 6 à 5
6 ), le sinus est supérieur à 1
2 puis de A à I (donc de 5
6 à ), le sinus est inférieur à 1 2. L ensemble des solutions de l inéquation sin(x) 1
2 est donc
6
5 6 .
2. cos(x) 2
2 .
On place 2/2 sur l axe horizontal des cosinus et on repère les deux points A et B du cercle qui correspondent.
On sait que cos
4
2
2 (tableau du cours à connaître par cœur) donc A est le point image de
4 3
4 et B est le point image de 3 4 .
On repasse en vert la partie de l axe des cosinus qui correspond à
cos(x) 2
2 puis la partie du cercle qui correspond à ces cosinus.
Pour déterminer l ensemble des solutions dans [ ], on part de I (à gauche du cercle) et on tourne dans le sens direct.
De I jusqu à B (donc de à 3
4 ), le cosinus est inférieur à 2
2 . De B à A (donc de 3 4 à 3
4 ), le cosinus est supérieur à 2
2 puis de A à I (donc de 3
4 à ), le cosinus est inférieur à 2 2 . L ensemble des solutions de l inéquation cos(x) 2
2 est donc
3
4
3
4 .
3. Résoudre dans [0 6 [ sin(x) 2 2
Deux points du cercle correspondent à un sinus égal à 2
2 : les points associés à 4 et à 3
4 .
L amplitude de l intervalle [0 6 [ est 6 3 2 donc trois tours. On passe donc trois fois par chacun des deux points.
Le point A est associé à 4 ;
4 2 9
4 ;
4 4 17
4 qui sont dans [0 6 [. Si on ajoute encore 2 , on sort de l intervalle. On a trois réels donc on a bien les trois solutions de l intervalle.
Le point B est associé à 3 4 ; 3
4 2 11
4 ; 3
4 4 19
4 qui sont dans [0 6 [. Si on ajoute encore 2 , on sort de l intervalle. On a trois réels donc on a bien les trois solutions de l intervalle.
Les solutions de sin(x) 2
2 dans [0 6 [ sont 4 ; 9
4 ; 17 4 ; 19
4 ; 11 4 ; 3
4
4. sin(x) 3
2 On place 3
2 sur l axe vertical des sinus et on repère les deux points A et B du cercle qui correspondent.
On sait que sin
3
3
2 (tableau du cours à connaître par cœur) donc A est le point image de
3 et B est le point image de
3
2 3 . B est aussi l image de 4
3 mais 4
3 n est pas dans l intervalle [ ] ; on lui enlève donc 2 (un tour) pour revenir dans l intervalle cherché.
On repasse en vert la partie de l axe des sinus qui correspond à sin(x) 3
2 puis la partie du cercle qui correspond à ces sinus.
Pour déterminer l ensemble des solutions dans [ ], on part de I (à gauche du cercle) et on tourne dans le sens direct.
De I jusqu à B (donc de à 2
3 ), le sinus est supérieur à 3
2 . De B à A (donc de 2 3 à
3), le sinus est inférieur à 3
2 puis de A à I (donc de
3 à ), le sinus est supérieur à 3 2 . L ensemble des solutions dans ] ] de l inéquation sin(x) 3
2 est donc
2
3 3 . On se place maintenant dans [0 2 [.
A est associé à
3 2 5
3 et B est associé à 2
3 2 4
3 . On part de la droite du cercle, on fait un trour dans le sens direct. On entre dans la zone verte en B et on en ressort en A.
Alors, l ensemble des solutions dans [0 2 [ de l inéquation sin(x) 3
2 est donc
4
3 5
3 .
5. (E) : cos²(x) cos(x) 1 4 0 On pose X cos(x)
(E)
X cos(x) X² X 1
4 0 On résout X² X 1
4 0 : X² X 1
4 0
X 1
2
2 0 X 1
2 (on pouvait aussi calculer 0, puis la racine) (E) cos(x) 1
2 x
3 2k ou x
3 2k avec k entier relatif.
Ainsi, l ensemble des solutions de (E) dans est
3 2k
3 2k ,k . 6. Résoudre dans [0 2 cos(3x) 1
2
A cause du 3x, on est obligé de raisonner avec les 2k : cos(3x) 1
2 3x
3 2k ou 3x
3 2k avec k entier relatif.
cos(3x) 1 2 x
9 2k
3 ou x 9
2k
3 avec k entier relatif.
On cherche les solutions dans [0 2 [.
Méthode 1 :
on remplace k par des entiers relatifs tant qu on reste dans l intervalle : Pour k 1 :
9 2k
3
5
9 [0 2 ] et 9
2k 3
7
9 [0 2 ]
On "voit bien" que si on prend des valeurs de k plus petites, on obtiendra des valeurs de x encore plus petites donc on ne sera pas dans [0 2 ]. On essaie donc des valeurs de k plus grandes :
Pour k 0 : 9
2k
3 9 [0 2 ] et 9
2k
3 9 [0 2 ]
Pour k 1 : 9
2k 3
7
9 [0 2 ] et 9
2k 3
5
9 [0 2 ] Pour k 2 :
9 2k
3
13
9 [0 2 ] et 9
2k 3
11
9 [0 2 ] Pour k 3 :
9 2k
3
19
9 [0 2 ] et 9
2k 3
17
9 [0 2 ] Pour k 4 :
9 2k
3
25
9 [0 2 ] et 9
2k 3
23
6 [0 2 ]
On "voit bien" que si on prend des valeurs de k plus grandes, on obtiendra des valeurs de x encore plus grandes donc on ne sera pas dans [0 2 ].
Méthode 2 : on cherche k pour que les solutions appartiennent à [0 2 ] :
0 9
2k
3 2 1
6 k 17
6 . Les entiers entre 1 6 et 17
6 sont 0 ; 1 et 2 donc on remplace k par 0 ; 1 et 2 (on retrouve les solutions de la méthode 1)
0 9
2k
3 2 1
6 k 19
6 . Les entiers entre 1 6 et 19
6 sont 1 ; 2 et 3 donc on remplace k par 1 ; 2 et 3 (on retrouve les solutions de la méthode 1)
Ainsi, les solutions dans [0 2 [ de cos(3x) 1 2 sont
9 ; 7 9 ; 5
9 ; 13
9 et 11 9 .
7. (E) : 2sin²(2x) 3sin(2x) 2.
On pose X sin(2x).
(E)
X sin(2x) 2X² 3X 2 0.
On résout 2X² 3X 2 0 : les solutions sont 1 2 et 2 Ainsi (E) sin(2x) 1
2 ou sin(2x) 2 sin(2x) 2 n a pas de solution car 2 1 Ainsi, (E) sin(2x) 1
2 2x
6 2k ou 2x 7
6 2k avec k un entier relatif (E) x
12 k ou x 7
12 k avec k un entier relatif L ensemble des solutions de (E) est S
12 k 7
12 k ,k . 8. On résout+ dans ] ] l équation précédente.
Le fait d ajouter k , correspond à ajouter un demi-tour. Il y a donc deux points sur le cercle pour chacune des solutions donc 4 points en tout. ] ] correspondant à un tour, on doit avoir 4 solutions (une par point).
12 k 11
12 k 13
12 . Les entiers k entre 11 12 et 13
12 sont 0 et 1.
Pour k 0 :
12 k
12 Pour k 1 :
12 k 1
12 7
12 k 19
12 k 5
12 . Les entiers k entre 19 12 et 5
12 sont 1et 0.
Pour k 1 : 7
12 k 5
12 Pour k 0 : 7
12 k 7
12
Ainsi, les solutions de l équation dans ] ] sont
12;. 1
12 ; 5
12 et 7 12 .
