Exercice 1

Série n ° 8 d’exercices non corrigés « Fonction Exponentielle »

Exercice 1 PARTIE I

Soit g la fonction numérique définie sur IR par: ^{g x}

 





1 - Calculer g ' x pour tout x de IR, et en déduire que g est décroissante sur

  







2 - En déduire que : ^{g x}

 

PARTIE II

On considère la fonction numérique f définie sur R par : ^{f x}

 





et

 





1- a. Montrer que: _x^lim_ ^{f x}

 

 

 

b. Montrer que _x^lim_ ^{f x}

 

 

xlim f x

 x   ,et en déduire la nature de la branche infinie de

 

2- Etudier la position relative de

 

 

3- Montrer que : ^f

 

 

 

 2

  . b. Donner une équation de la tangente

 

 

5- Tracer dans le repère





 

 

 

(on prend:  0 4, ).

Exercice 2

Soit f la fonction numérique définie sur R par : ^{f x =}

 





 





1- a. Montrer que : _x^lim_ ^{f x}

 

 

b. Vérifier que :

 

 

2 ^x f x =x+

 e

 

 

  pour tout x de R;

c. Étudier les branches infinies de la courbe

 

2 a. Donner le tableau de variations de la fonction f;

b. Déterminer l'équation de la tangente

 

 

c. Tracer dans le repère





 

 

3- Soit

 

⁰1

   

0

n n

u u _ f u n IN

 

   



a. Montrer que u_n1u_n ln 2

 

b. Montrer que la suite

 

c. Montrer que: _nlimu_n  

4- Soit

 





 

b. Déterminer u en fonction de n pour tout n_n IN c. Calculer limuⁿ

n n Exercice 3

Soit f la fonction numérique définie sur IR par :

 

1

x

x e x

f x e



 

  

 

 .

et

 





1- a. Vérifier que:

 

1

x x

f e

x e x





  

  

 

 pour tout xIR

b. Montrer que la fonction f est paire et que

 

2 1

x x

f x x xe

e





 

 pour tout xIR c. Montrer que _x^lim_ ^{f x}

 

i 1 xe

e ^x

x

 x

 



  , puis en déduire que la droite

 

d'équation : yx est une asymptote à la courbe

 

2- Montrer que la courbe

 

 





3- a. Montrer que : pour tout xIR ,

 

 

4 2

2 2

1 4 1

x x

x

e xe

f x

e

  

  et vérifie que : ^f

 

b. Montrer que : e^4x 1 0 pour tout ^x









c. Dresser le tableau de variations de f sur l'intervalle





4 - Tracer dans le repère





^{ }

 

Exercice 4

I- Soit f la fonction numérique définie par : ^{f x =}

 

et

 





1 - Montrer que l'ensemble de définition de f est ^D





2 - Calculer ^f

 

 

3- Étudier la dérivabilité de f à droite en 0 et interpréter géométriquement le résultat obtenu.

4- Etudier les variations de f et dresser son tableau de variations.

5 - Déterminer la branche infinie de la courbe

 

6 - Tracer la courbe

 

7 - Soit g la restriction de f à l'intervalle





a- Montrer que la fonction g admet une fonction réciproque g^1 définie sur un intervalle J que l'on déterminera et calculer ^g

 

b. Montrer que la fonction g^1 est dérivable en 1 et calculer

 

 

c. Tracer la courbe de la fonction g^1dans le même repère





d. Déterminer g (x) pour tout x de J

II - Soit

 

 





a. Montrer que:





b. Montrer que

 

Exercice 5 PARTIE I

Soit f la fonction numérique définie sur IR par:

 

2 1

1 1 _x

f x x

 e

 

et

 





1- a. Vérifier que:





1 1

x x

e^  e

 

b. En déduire que f est une fonction impaire.

2- Calculer _x^lim_ ^{f x}

 

3- a. Montrer que :



  

1 1 2

x x

e

f x e  

 

 

  . b. Dresser le tableau de variations de f sur R c. En déduire que:





1 1 2

x 2x

e 

  .

4- montrer que : ^lim

 

2

x_f x   x

5- Tracer dans le repère





 

y 2x et la courbe

 

PARTIE II

Soit

 

 

0

1

1 1 2

1

n

un

u

u n IN

e



 

    

 



1- Montrer par récurrence que :





2- a. Vérifier en utilisant la question PARTIE I 3)c)que :





2 ⁿ un_  u . b. En déduire que la suite

 

3 - Montrer que : 1 2

n

un  

    pour tout nIN, puis calculer limu_n

n

Exercice 6

Soit f la fonction numérique définie sur IR par :

 

1

x x

f x e e



  et

 





PARTIE I

1- a. Montrer que :





 

 

 

b. Calculer _x^lim_ ^{f x}

 

 

c. Dresser le tableau de variations de f.

2- a. Donner une équation de la tangente

 

b. On pose pour tout xIR ; ^{g x}

 

  



vérifier que:



  

1

x

g x ex

e

  

 

 

   ; calculer ^g

 

 

 

3- Tracer la tangente

 

 





PARTIE II

1- a. Montrer que :





 

 

b. En déduire que la droite

 

coupe la courbe

 



  

1

x x

f x e

 e

 

b. En déduire une fonction primitive de f sur IR.

PARTIE III

Sot

 

   

0 1

3

n n

u u _ f u n IN

 

   



1- Montrer que :





2- Montrer que la suite

 

3- Montrer que: limu_n

n 

 

Exercice 7

I - Soit g la fonction numérique définie sur IR par : ^{g x}

 

1- Calculer g ' x pour tout x

 









2 - Montrer que : ^{g x}

 

 

II - Soit f la fonction numérique de la variable réelle x définie par: ^{f x}

 

xe^

 et

 

représentative dans un repère orthonormé





1- Montrer que l'ensemble de définition de f est IR (on peut utiliser le résultat de la question 1) 2)) 2 a. Montrer que : pour tout xIR^;

 

1 1_x f x

 xe



b. Montrer que _x^lim_ ^{f x}

 

 

3- a. Montrer que :

   

 

1 ^x

x

x x x

e e f





  

 pour toutxIR

b. Étudier le signe de ^f

 

4- a. Donner une équation de la tangente à

 

   

 

x f x xg x

  g x

 pour tout xIRet étudier le signe de



  

c. En déduire la position relative de

 

 

 

 





(on prend ¹ 0 6

1 ,

e 

 )

III - On considère la suite numérique

 

   

0 1

1

n n

u u _ f u n IN

 

   



1- Montrer par récurrence que: pour tout nIN ; 0u_n 1

2 - Montrer que la suite

 

 

Exercice 8

Soit f la fonction numérique définie sur R par :

 

 

1 1

0 2

0 1 2

f x xe x x si x

f

 

   



 



et

 





Partie 1:

1- a. Vérifier que la fonction f est continue à droite en 0;

b. Étudier la dérivabilité f à droite en 0 et interpréter géométriquement le résultat obtenu.

2 - a. Calculer:

1

lim ^x

x xe^ x



 

  

  b. Montrer que : (Vx E R");e 1 <0;

c. Dresser le tableau de variations de f

3- a. Montrer que la fonction f admet une fonction réciproque f définie sur un intervalle J que l'on déterminera;

b. Donner le tableau de variations de f

c. Montrer que l'équation ^{f x}

 

2  1 4 - a. Vérifier que :





^{ }

b. Montrer que l'équation : ^{f x}

 





^{ }

Partie 2:

1- SoitnIN^ , Montrer que l'équation:

 

f x 2

 nadmet une unique solution x dans _n IR^ 2- Quelle est la valeur de x ? ₁

3- Déterminer la monotonie de la suite

 

Exercice 9

Soit f la fonction numérique de la variable réelle x définie par: ^{f x}

 

et

 





Partie 1:

1- a. Vérifier que l'ensemble de définition de la fonction f est ^D





b. Montrer que la fonction f est continue sur l'intervalle





c. Étudier la dérivabilité de f à droite en x₀=0 et interpréter géométriquement le résultat obtenu.

2- Montrer que: ^{ x}





3 - Dresser le tableau de variations de f.

4- a. Étudier la branche infinie de

 

Partie 2:

1 a. Montrer que l'équation : e^x 1 x admet une unique solution  dans IR^ et que: 1  2 . b. Vérifier que :



 



2- a. Résoudre l'équation : ^{f x}

 





b. En déduire que :



 



 

3 - Montrer que :

 

f^   2

4 - Tracer la courbe

 

Soit

 

   

0 1

n n

u

u f u n IN





 

   



1- Vérifier que : ^

 

2 - Montrer que :





 

4- En déduire que la suite

 

Exercice 10 PARTIE A

Soit g la fonction définie sur





 

g x   x e^

1- Etudier les variations de g sur





2- Déterminer la limite de g en (on ne demande pas de construire la courbe représentative de g 3- Démontrer qu'il existe un unique réel  strictement positif tel que ^g

 

ln2 1

2  

4- Etudier le signe de g sur





5- Justifier que : 0, 79  0,80 . PARTIE B

Soit f la fonction définie sur





1

2 2

( ) ^x 1

f x x e 

   

 

Et C_f sa courbe représentative dans un repère orthonormé





1- Etude des variations de f

Justifier que f est dérivable sur





 

1

2 2 2 1

1

x x

e e g

x x

f

    

   

 

 



b) En déduire les variations de f sur





2- Etude de la limite de f en 0.

a) Montrer que: pour tout réel x strictement positif :

 





ln f( ) x x 2 ^x

x x  e^ 

     

  b) En déduire la limite de f en 0

c) Interpréter graphiquement le résultat 4) Etude de la limite de f en +∞

a) Etudier la limite de

2 2 u 1 e

u

 quand u tend vers 0

b) Vérifier que pour tout réel x strictement positif,

1 2 2

2

( ) 1 1 ex

f x

x

 

  

 

  

   

 

c) En déduire la limite de f en +∞

5) Représentation graphique de f

Tracer la courbe C_f dans le repère





Exercice 11 PARTIE A

Soit g la fonction définie sur R par :^{g x}

 

1. Calculer lim ( )

x g x

 et lim ( )

x g x



2. Etudier le sens de variation de g et puis dresser son tableau de variation

3. Montrer que l'équation ^{g x}

 

   

4. En déduire le signe de g PARIE B

Soit f la fonction définie sur R par : ^{f x}

 





1. Calculer lim ( )

x f x

 et lim ( )

x f x



2. Calculer ^f

 

 

 

Etudier les variations de f.

3. Montrer que :

  



f  4 

 ^{ } En déduire un encadrement de ^f

 

4. Dresser le tableau de variation de f.

5. Tracer la courbe C de f dans un repère orthonormé

 

6. Soit m un réel négatif a) Calculer ^{0 x}

mxe dx



b) Calculer alors ⁰ ( )

m f x dx



c) Déterminer lim ⁰ ( )

m m f x dx





Exercice 12

Soit f la fonction définie sur IR par : ^{f x}

 

1) a) Etudier les variations de f b) Construire C et D

2) a) Montrer que g définie sur





 

 





b) En déduire que ^{f x}

 





2  . c) Montrer que pour tout x de ¹;1

2

 

 

  on a :

 

f x 2 

    d) Montrer que si 0 u 1 alors⁰





u u 4

   . En déduire que pour tout x de ¹;1

2

 

 

 on a :

 

f x 2 3) On considère la suite

 

U  2 et Un_1 f U

 

a) montrer que : ₁ 1

n 2 n

U _   U  b) En déduire que 1

2

n

Un_{   } ^{ }

 

c) Montrer que

 

Exercice 13

Soit la fonction f définie sur IR par :

 

 

2

f x  e^x On désigne par

 





1- a) Montrer que f est dérivable sur IR et pour toutxIR ,

 

2 1 ^x

f x   e

 . b) Etudier les variations de f.

c) Montrer que la droite : ¹ y 2x

   est une asymptote à

 

 

e)Tracer

 





 

dans IR une unique solution  et que0  1 . 3- a) Montrer que pour toutx0 ,

 

f x 4 . b) En déduire que pour toutx0,

 

f x   4 x .

4. Soit

 

 

b) Montrer que pour toutnIN, ₁ ¹

n 4 n

U _   U  . c) En déduire que pour toutnIN, 1

4

n

Un_{   } ^{ }

  et calculer lim _n

n U

 . Exercice 14

On considère la fonction f définie sur IR par :

 

 

0 1

0 1

x x

f x xe si x

e f

  

 

 



On note

 





1. a. Calculer^lim

 

x f x

 .

b. Etablir que, pour tout nombre réel x non nul, on a :

 

x 1 f x x

e

 

     ; En déduire ^lim

 

x f x



2. Donner, sans démontrer, la limite suivante:

lim0 x 1

x

x

 e  et démontrer que f est continue en 0.

3. a. Démontrer que, pour tout nombre réel x, on a: e^x  x 1, et que l'égalité n'a lieu que pourx0 . b. Calculer la dérivée fde la fonction f et déterminer la fonction g telle que, pour tout nombre réel x

non nul,

   





x x

e g x f x

e

 



c. Donner le tableau des variations de f.

4. Soient x un nombre réel non nul et les points ^{M x f x}



  



 



 

a. Etablir que

 

x 1 f x x

 e

 ; puis déterminer le coefficient directeur de la droite





b. On admet que la fonction f est dérivable en 0.

Que suggère alors le résultat précèdent?

Exercice 15 Partie A

On considère la fonction g définie sur





 

1. Etudier les variations de la fonction g.

2. Déterminer le signe de g x suivant les valeurs de r.

 

3. En déduire que pour tout x de





Parte B

On considère la fonction f définie sur

 

 

e x

 

 On admet que f est strictement croissante sur

 

1. Montrer que pour tout x de

 

 

 

2. Soit

 

a. Montrer que pour tout x de

 

  

  

x

x g x

f x x e

x

 

 

b. Etudier la position relative de la droite

 

 

 

3. a. Déterminer une primitive de f sur

 

b. Calculer l'aire, en unités d'aire, du domaine du plan délimité par la courbe

 

 

les droites d'équations x0 et x1. Partie C

On considère la suite

 

   

0

1

1 2

n n

u

u _ f u n IN

 



   



1. Calculer u₁ ; u₂ ; u₃ et u ₄

2. Montrer que pour tout entier naturel n ;¹ ₁ 1 2uⁿ uⁿ_ 

3. En déduire que la suite

 

Exercice 16

On considère la fonction f définie sur IR par :

 

f x x

e x

 

On note

 





2 cm) Partie I

Soit g la fonction définie sur R par : ^{g x}

 

1. Etudier les variations de la fonction g sur R. En déduire le signe de g.

2. Justifier que pour tout x ,





Partie II

1. a. Calculer les limites de la fonction f en et en

b. Interpréter graphiquement les résultats précédents.

2. a. Calculer ^f

 

b. Etudier le sens de variations de f puis dresser son tableau de variations.

3. a. Déterminer une équation de la tangente

 

 

b. A l’aide de la partie I, étudier la position relative de la courbe

 

 

4. Tracer la droite

 

 



