Terminale S - Etudes de fonctions - Exercice C4

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Exercice C4

Partie A

La fonction f est définie sur ]0 ; +∞ [ par f(x) = x - 2 + 1 2 ln x

1°) a) Calculer les limites de f aux bornes de son ensemble de définition.

b) Calculer f'(x) et étudier le sens de variation de f (on ne demande pas de représentation graphique).

2°) a) Montrer que l'équation f(x) = 0 admet dans ]0 ; +∞ [ une solution unique l . Donner une valeur approchée de l à 10 ^-2 près.

b) Étudier le signe de f(x) lorsque x décrit ]0 ; +∞ [ .

Partie B

La fonction g est définie sur [0 ; +∞ [ par

 

 ^{g(0) = 0}

g(x) = - 7

8 x ² + x - 1

4 x ² ln x , pour tout réel x > 0.

1°) a) Étudier la continuité et la dérivabilité de g en 0.

b) Déterminer la limite de g en +∞ .

2°) Soit g' la fonction dérivée de la fonction g.

Pour tout réel x > 0 calculer g'(x), puis vérifier que g'(x) = x f

 

 

1 x .

3°) En déduire le signe de g'(x) lorsque x décrit ]0 ; +∞[. Dresser un tableau de variation de la fonction g.

4°) Donner les équations des tangentes à la courbe Γ représentative de g aux points d'abscisses 0 et 1.

Tracer Γ et ses tangentes.