TS : contrôle sur la fonction exponentielle et les exponentielles complexes
I (1,5 point)
Simplifier les expressions suivantes : A= ex
e3x B=¡
ex¢3 C=¡ e2¢3
×e
II (2,5 points)
Résoudre les équations suivantes : a) ex=e
b) ex= −2
c) e2x+3ex−4=0
III (3 points)
Résoudre soigneusement l’inéquation : e1x Éex+2x
IV (3 points)
Déterminer, en justifiant, les limites suivantes : a) lim
x→+∞e−x+1 b) lim
x→−∞(x+1)e−x+1 c) lim
x→+∞
³ x ex+1
´
d) lim
x→+∞(x+1)e−x+1
V (3 points)
1. Expliquer pourquoi lim
x→0
µex−1 x
¶
=1.
2. Étudier la continuité et la dérivabilité de la fonc- tion f définie par :
f(x)= x2
ex−1six6=0 f(0)=0
VI (2 points)
On considère la fonctionf :x7→xex, définie surR. 1. Calculer limites en−∞et en+∞de f.
2. Après avoir expliqué pourquoi la fonction est dérivable sur R, calculer f′(x) puis étudier les variations de f.
3. Dresser alors le tableau de variations.
4. Tracer la courbeCf.
VII (3 points)
Le plan complexe est muni d’un repère orthonor- mal¡
O; −→u ;→−v¢
(unité = 4 cm).
On note A, B, C et D les points d’affixes respectives a=1 b=eiπ3 c=3
2+ p3
2 i 1. Écrivezc sous forme exponentielle.
2. (a) Placez les points A, B, C dans le repère.
(b) Démontrez que OACB est un losange.
VIII Racine n
ièmede l’unité (2 points)
Pour toutn∈N∗, on appelle racine nièmede l’unité tout nombre complexe tel quezn=1.
On noteUnl’ensemble des racines nièmede l’unité.
Par exemple :U2={−1 ; 1}.
1. Soit n ∈ N∗; démontrer que, pour tout k ∈ N avec 0ÉkÉn, e2iknπ appartient àUn.
2. Réciproquement, montrer qu’un nombre com- plexe vérifiant zn =1 appartient à Un (indica- tion : écrirezsous la formerejθ)
