TS : contrôle sur la fonction ln et les nombres complexes I (2 points)

TS : contrôle sur la fonction ln et les nombres complexes

I (2 points)

Exprimer en fonction de ln2 et de ln3 les nombres sui- vants :

A= ln54+2ln 36

B= ln³p 6´

II (2,5 points)

Donner la forme exponentielle de :

A= 12i

B= 6p 3−6i

C= i− 1 p3

III (2,5 points)

Résoudre dansRl’équation :

ln(x+1)+ln(x+2)=ln(x+3).

IV (3 points)

Résoudre dansRl’inéquation :1+lnx 2−lnx>0 V (3 points)

Soitf la fonction définie sur ]0 ;+∞[ par : f(x)=x−lnx.

1. Déterminer les limites en 0 et en+∞def. 2. Étudier les variations de f.

VI (3 points)

Soient f etgles fonctions définies sur ]0 ;+∞[ par f(x)=lnxetg(x)=(lnx)².

On noteC _etC^′les courbes représentatives def etgdans un repère orthonormé.

1. (a) Étudier le signe de lnx(1−lnx) sur ]0 ;+∞[.

(b) En déduire la position relative deC _{et de}C^′_se- lon les valeurs dex.

2. Pourx∈]0 ;+∞[, M est le point deC _{d’abscissexet} N le point deC^′_{d’abscissex.}

Montrer que, sur l’intervalle [1 ; e], la distance MN passe par un maximum.

3. Existe-t-il des abscisses sur l’intervalle ]0 ;+∞[ telle que la distance MN soit égale à 1?

VII (4 points)

On considère la suite (z_n) de nombres complexes défi- nie pour tout entier naturelnpar :







z0 = 0 zn+1 = 1

2i×zn+5

Dans le plan rapporté à un repère orthonormé, on note Mnle point d’affixezn.

On considère le nombre complexe z_A =4+2i et A le point du plan d’affixezA.

1. Soit (un) la suite définie pour tout entier natureln parun=zn−z_A.

(a) Montrer que, pour tout entier natureln un+1=1

2i×un.

(b) Démontrer que, pour tout entier natureln: un=

µ1 2i

¶n

(−4−2i).

2. Démontrer que, pour tout entier natureln, les points A,MnetMn+4sont alignés.