DS n°5 : Fonction Ln / Nombres complexes

(1)

Nom :

Classe : T S DS n°5

le 08/04/2016 Note :

… / 20

Exercice 1 : Extrait du Bac S Nouvelle Calédonie – mars 2016 … / 10

On considère les nombres complexes définis, pour tout entier naturel , par : = 1 et = (1 + ) .

On note le point d’affixe dans le repère orthonormé (O; , ) de l'annexe 1.

L’objet de cet exercice est d’étudier la construction des points . 1) a) Vérifier que 1 + = .

b) En déduire et sous forme exponentielle.

2) a) Montrer que pour tout entier naturel ,

=

b) Pour quelles valeurs de , les points O, et sont ils alignés ? 3) Pour tout entier naturel , on pose = | – |.

a) Interpréter géométriquement . b) Calculer .

c) Montrer que pour tout entier naturel non nul,

– = (1 + ) ( – )

d) En déduire que la suite ( ) est géométrique puis que pour tout entier naturel , =

| | = | | +

b) En déduire que pour tout entier naturel , le triangle O est rectangle en . c) Construire, à la règle non graduée et au compas, le point sur la figure de l'annexe 1.

d) Justifier cette construction.

zn n

z0 zn+1

p3 i 3 zn

An zn ~u ~v

A_n

i p3

3 p2

3

e

ⁱ^¼⁶

z1 z2

n

zn

(

p²

3

)

ⁿ

e

ⁱⁿ^¼⁶

n A₀ A_n

n dn zn+1 zn

dn

d0

n

zn+2 zn+1 i p3

3 zn+1 zn

dn n

dn

p3 3

(

p²

3

)

ⁿ

z_n+1² z_n² dn²

n n

AnAn+1 An

A5

(2)

Exercice 2 : Courbe asymptote. … / 10 La fonction f est définie sur l'intervalle ]-1;+∞[ par :

= On note c sa courbe représentative.

1) a) Calculer les limites de f en -1 et en l'infini.

b) Quelle conséquence graphique peut-on en déduire ?

2) Etudier le sens de variation de f puis dresser son tableau de variations.

3) a) Démontrer que pour tout réel > , l'équation = admet deux solutions dans ]-1;+∞[.

b) Résoudre = .

4) La courbe représentative l de la fonction est tracée dans le repère (O;I,^.J) de l'annexe 2.

a) Compléter le tableau de valeurs ci-dessous puis tracer la courbe c sur la figure de l'annexe 2.

x -0,75 -0,5 0 1 2 3 8

b) Justifier que l reste au dessus de c sur ]3;+∞[ et déterminer [ – ].

On dira que la courbe c est asymptote à la courbe l en +∞.

c) On donne l'algorithme ci-dessous.

Variables : Traitement :

Sortie :

est un nombre réel. est un entier naturel.

prend la valeur 4.

prend la valeur Tant que y > 0,01 prend la valeur prend la valeur Fin Tant que

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Que représente la valeur affichée par cet algorithme ? Déterminer cette valeur.

f(x) ln(3 +x²)¡ln(1 +x)

k ln(2) f(x) k f(x) ln(3)

ln

f(x)

x!lim+1 ln(x) f(x)

y n

n

y ln(n)¡ln(3 +n²) +ln(1 +n)

n n+ 1

y ln(n)¡ln(3 +n²) +ln(1 +n) n

(3)

Annexe 1

Annexe 2

l

(4)

Correction du DS n°5 Exercice 1 : Extrait du Bac S Nouvelle Calédonie – mars 2016

On considère les nombres complexes définis, pour tout entier naturel , par : = 1 et = (1 + ) .

On note le point d’affixe dans le repère orthonormé (O; , ) de l'annexe 1.

L’objet de cet exercice est d’étudier la construction des points . 1) a) Vérifier que 1 + = .

= (cos + sin ) = ( + ) = 1 + b) En déduire et sous forme exponentielle.

= (1 + ) = ×1 =

= (1 + ) = × = = =

=

On pose, pour tout entier naturel , p( ) : « = » Démontrons la propriété p( ) par récurrence :

◦ Initialisation :

On a : = 1 et : = = 1. Donc : = La propriété p( ) est vraie au rang = 0.

◦ Hérédité :

Supposons que la propriété p( ) est vraie à un rang ≥ 0. Alors : = Montrons que p( ) est vraie, c'est-à-dire : =

On a : = (1 + ) = × = =

Donc p( ) est vraie et la propriété p( ) est héréditaire.

◦ Conclusion :

p(0) est vraie et p( ) est héréditaire donc : ∀ ∈ N, = . b) Pour quelles valeurs de , les points O, et sont ils alignés ?

Les affixes des points O et sont réelles.

Pour que les points O, et soient alignés il faut et il suffit que l'affixe de soit elle aussi réelle.

∈ R ⇔ arg ( ) = 0 + avec ∈ Z ∈ R ⇔ = 0 + avec ∈ Z

∈ R ⇔ = avec ∈ Z ⇔ = avec ∈ Z ⇔ = avec ∈ Z

Finalement, les points O, et sont alignés si et seulement si n est un multiple de 6.

zn n

z0 zn+1 i

p3 3 zn

An zn ~u ~v

A_n

i p3

3 p2

3

e

ⁱ^¼⁶

z1 z2

n zn

n A₀ A_n

p2

3eⁱ^¼⁶ ^p²₃ ^¼₆ i ^¼₆ p²

3 i

p3 2

1

2 i

p3 3

i

z1 z0 p2

3eⁱ^¼⁶

p3 3

p2 3eⁱ^¼⁶

i

p3 3

p2 3eⁱ^¼⁶

z2 z1 p2

3eⁱ^¼⁶ (p²

3)²(eⁱ^¼⁶)² ⁴₃eⁱ^2¼⁶ ⁴₃eⁱ^¼³

n zn

n (p²

3)ⁿeⁱⁿ^¼⁶ (^p²₃)ⁿeⁱⁿ^¼⁶

n

z0 (p²

3)⁰eⁱ⁰^£^¼⁶ 1e⁰ z0 (p²

3)⁰eⁱ⁰^¼⁶

n n

n

i p3

3

p2 3eⁱ^¼⁶

n

k zk (p²

3)^ke^ik^¼⁶

k+ 1 zk+1 (^p²₃)^k+1e^i(k+1)^¼⁶

(p²

3)^k+1e^i(k+1)^¼⁶

zk+1 zk (p²

3)^ke^ik^¼⁶ (p²

3)^k+1eⁱ^¼⁶^+ik^¼⁶

k+ 1

n n zn (p²

3)ⁿeⁱⁿ^¼⁶

A0

A0 An An

zn zn k¼ k

zn ^n¼₆ k¼ k

z_n n ^6(0+k¼)_¼ k n ^6k¼_¼ k n 6k k

A0 An

(5)

3) Pour tout entier naturel , on pose = | – |.

a) Interpréter géométriquement . ∀ ∈ N, = | – | = est la longueur . b) Calculer .

= | – | = |(1 + ) – | = |1 + –1| = | | = | | | | = c) Montrer que pour tout entier naturel non nul,

– = (1 + ) ( – )

∀ ∈ N, – = (1 + ) – (1 + ) = (1 + ) ( – ) d) En déduire que la suite ( ) est géométrique puis que pour tout entier naturel ,

=

∀ ∈ N, – = (1 + ) ( – )

Donc : ∀ ∈ N, | – | = |(1 + )| |( – )|

Or : |(1 + )| = | | =

De plus : ∀ ∈ N, |( – )| = et : | – | = Donc : ∀ ∈ N, =

On en déduit que la suite ( ) est géométrique de 1^er terme = et de raison = Par conséquent : ∀ ∈ N, = × = ×

| | = | | +

∀ ∈ N, on a : = = = ×

D'une part : | | + = + × = (1 + ) =

D'autre part : | | = = = =

Donc : | | = | | +

b) En déduire que pour tout entier naturel , le triangle O est rectangle en . ∀ ∈ N, | | = | | +

Donc O = O +

Ainsi, d'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle O est rectangle en . n d_n zn+1 zn

d_n

d0

n

zn+2 zn+1 i p3

3 zn+1 zn

dn n

dn

p3 3

(

p²

3

)

ⁿ

n

zn+12 zn2 dn2

n AnA_n+1 An

dn zn+1 zn A_nA_n+1

dn A_nA_n+1

d0 z₁ z₀ i z₀ z₀ i i i

p3 3 p3

3 p3

3

z_n+2 z_n+1 i

p3

3 z_n+1 i

p3

3 z_n i

p3

3 z_n+1 z_n n

n

n z_n+2 z_n+1 i p3

3 z_n+1 z_n z_n+2 z_n+1 i

p3

3 z_n+1 z_n i

p3 3

z_n+1 z_n dn z_n+2 z_n+1 d_n+1 n

n

n dn+1 dn

dn d0

p3

3 q

dn d0 qⁿ

p3

n 3

p2 3

(p² 3)ⁿ

n

n zn+12 zn2 dn2

An+12 An2 AnAn+12

AnAn+1 An

p2

3

e

ⁱ^¼⁶ p² 3

p2 3

z_n (p²

3)ⁿeⁱⁿ^¼⁶ z_n+1 (p²

3)ⁿ⁺¹eⁱ⁽ⁿ⁺¹⁾^¼⁶ d_n

p3 3 (p²

3)ⁿ

zn2 d_n² ((p²

3)ⁿ)² (^p₃³)² ((p²

3)ⁿ)² ³₉ (p²

3)²ⁿ ⁴₃ (p² 3)²ⁿ

zn+12 ((p²

3)ⁿ⁺¹)² (p²

3)²ⁿ⁺² (p²

3)²(p²

3)²ⁿ ⁴₃ (p² 3)²ⁿ

z_n+1² z_n² dn2

(6)

c) Construire, à la règle non graduée et au compas, le point sur la figure de l'annexe 1.

d) Justifier cette construction.

Le triangle O doit être rectangle en .

Donc appartient à la droite (d) perpendiculaire à (O ) passant par .

Pour construire (d), on trace la demi-droite [O ) puis deux arcs de cercle de centre et de mêmes rayons.

On fait ainsi apparaître la médiatrice (d) d'un segment [BC].

D'après le résultat obtenu à la question 2) a) l'affixe du point a pour argument .

Or, on sait que sin = . On fait apparaître le point E du cercle trigonométrique d'argument en construisant au compas le triangle équilatéral ODE. Finalement : = (d) ∩ (d').

Remarque : En construisant au compas la perpendiculaire à (O ) passant par on se rend compte que le point était mal placé sur l'axe des réels.

A₅

A₄A₅ A₄

A5 A4 A4

A₄ A₄

× B C ×

(d)

A₅ ^5¼₆

5¼ 6

1 2

D

×

E

×

5¼ 6

A₅ (d')

(d'')

A5 A5

A₆

X

(7)

Exercice 2 : Courbe asymptote.

La fonction f est définie sur l'intervalle ]-1;+∞[ par : = On note c sa courbe représentative.

1) a) Calculer les limites de f en -1 et en l'infini.

Calcul de la limite en -1 :

= 0⁺ Et : = -∞ Donc, par composée de limites : = -∞

De plus : =

Donc, par différence de limites : = +∞

Calcul de la limite en + ∞ : On lève la forme indéterminée ∞ – ∞

∀ ∈ ]-1;+∞[, = = ( )

= = = +∞

Et : = +∞ Donc, par composée de limites : = +∞

b) Quelle conséquence graphique peut-on en déduire ? Puisque : = +∞

Alors, la courbe représentative c de f admet pour asymptote verticale la droite d'équation = -1.

2) Etudier le sens de variation de f puis dresser son tableau de variations.

∀ ∈ ]-1;+∞[, = =

Donc : ∀ ∈ ]-1;+∞[, = – avec :

{

^u(^v⁽^x^x)=3+⁾⁼¹⁺^x^x² ^{et :}

{

^{u '}^{v '}⁽⁽^x^x⁾⁼¹⁾⁼²^x

= – = = = ∀ ∈ ]-1;+∞[, > 0 et : > 0

est donc du signe du trinôme sur ]-1;+∞[. On calcule son discriminant :

∆ = = = = > 0

Le trinôme admet deux racines distinctes : x₁=-b−^√Δ

2a =- 2−

√

¹⁶

2 =- 2−4

2 =-3 et : x₂=-b+^√Δ

2a =-2+4 2 =1

est du signe contraire de a = 1 > 0 entre ses racines, c'est-à-dire sur ]-3 ; 1[.

On en déduit le tableau de variations suivant : - 1 1 +∞

– +

+∞ +∞

= ( ) = ( ) = f(x) ln(3 +x²)¡ln(1 +x)

xlim!-1 x>-1

1 +x limln(X)

X!0 X>0

xlim!-1 x>-1

ln(1 +x)

xlim!-1 x>-1

ln(3 +x²) ln(4)

xlim!-1 x>-1

f(x)

ln(X)

x f(x) ln(3 +x²)¡ln(1 +x) ln ^3+x

2

1+x x!lim+1

3+x²

1+x lim

x!+1 x²

x lim

x!+1x lim

X!+1 lim

x!+1f(x)

xlim!-1 x>-1

f(x)

x

x f(x) ln(3 +x²)¡ln(1 +x) ln(u(x))¡ln(v(x)) f⁰(x) ^u_u(x)⁰^(x) ^v_v(x)⁰^(x)

x

f⁰(x) _3+x^2x₂ _1+x¹ ^2x(1+x)^¡^(3+x

2) (3+x²)(1+x)

2x+2x²¡3¡x² (3+x²)(1+x)

x²+2x¡3 (3+x²)(1+x)

x²+ 2x¡3 b²¡4ac 2²+ 4£3 4 + 12 16

x 1 +x 3 +x²

f⁰(x)

x²+ 2x¡3

x x²+ 2x¡3

f⁰(x) f

O O

f(1) ln ^3+x

2

1+x ln ⁴₂ ln(2)

ln(2)

(8)

3) a) Démontrer que pour tout réel > , l'équation = admet deux solutions dans ]-1;+∞[.

On a : = . Soit >

est strictement décroissante sur ]-1 ; 1[ et : ∀ ∈ ]-1;1[, > .

Donc, d'après le théorème des valeurs intermédiaires, l'équation = admet une unique solution sur ]-1 ; 1[. De même, puisque est strictement croissante sur ]1 ; +∞[ et : ∀ ∈ ]1 ; +∞[, > alors l'équation = admet une unique solution sur ]1 ; +∞[.

Finalement, l'équation = admet deux solutions dans ]-1;+∞[.

b) Résoudre = .

= ( )

= ⇔ = 3 ⇔ = ⇔ = 0 ⇔ = 0 ⇔ = 0 ou = 3

4) La courbe représentative l de la fonction est tracée dans le repère (O;I,^.J) de l'annexe 2.

a) Compléter le tableau de valeurs ci-dessous puis tracer la courbe c sur la figure de l'annexe 2.

x -0,75 -0,5 0 1 2 3 8

2,66 1,87 1,1 0,69 0,85 1,1 2,01

b) Justifier que l reste au dessus de c sur ]3;+∞[ et déterminer [ – ].

On dira que la courbe c est asymptote à la courbe l en +∞.

– = – ( ) = ( ) = ( ) = ( )

> ⇔ >

Donc : ∀ ∈ ]3;+∞[, > 1 et ( ) > 0 Donc l reste au dessus de c sur ]3;+∞[.

[ – ] = = = 1 = 1

Et : = 0

Donc, par composée de limites : [ – ] = 0 c) On donne l'algorithme ci-dessous.

Variables : Traitement :

Sortie :

est un nombre réel. est un entier naturel.

prend la valeur 4.

prend la valeur Tant que y > 0,01 prend la valeur prend la valeur Fin Tant que

Afficher

Que représente la valeur affichée par cet algorithme ? Déterminer cette valeur.

Cet algorithme calcule l'écart entre et = , pour tout entier naturel > 3, tant que cet écart est supérieur strictement à 0,01. Il affiche le plus petit entier naturel > 3 tel que est une valeur approchée de à près, tout au plus.

En utilisant le tableur de la calculatrice ou en programmant cet algorithme on obtient = 97.

k ln(2) f(x) k

f(x) ln(3)

ln

f(x)

x!lim+1 ln(x) f(x)

y n

n

y ln(n)¡ln(3 +n²) +ln(1 +n)

n n+ 1

y ln(n)¡ln(3 +n²) +ln(1 +n) n

f x f(x) ln(2)

f(x) k

f x f(x) ln(2)

f(x) k

k ln(2) f(1) ln(2)

f(x) k

f(x) ln ^3+x

2

1+x

f(x) ln(3) ^3+x_1+x² 3 +x² 3 + 3x x²¡3x x(x¡3) x x

ln(x) f(x) ln(x) ln ^3+x_1+x² ln _3+x^x₂

1+x

ln ^x(1+x)_3+x2 ln ^x+x_3+x2²

x+x² 3 +x² x 3

x ^x+x_3+x2² ln ^x+x_3+x²2

ln(X)

x!lim+1 lim

x!+1 lim

x!+1 x+x²

3+x²

x!lim+1 ln(x) f(x) ^x_x²₂

Xlim!1

x!lim+1 ln(x) f(x)

ln(n) f(n) ln(3 +n²)¡ln(1 +n) n

y

n

f(n) ln(n) 10^-2

n

(9)

l c

x = -1