DS n°6 en TS2 : Nombres complexes et fonction logarithme népérien

Nom :

Classe : T S DS n°6

le 23/03/2017 Note :

… / 20

Avis de l’élève Avis du professeur

Connaissances / Compétences évaluées Oui Non Oui Non

Calculer avec des nombres complexes.

Déterminer la nature d'un triangle en utilisant les propriétés des nombres complexes.

Déterminer / Tracer des ensembles de points.

Déterminer une fonction à partir d'observations graphiques.

Déterminer des limites.

Dériver.

Etudier les variations d'une fonction. Déterminer les extremums locaux.

Résoudre un problème en « prise d'initiatives ».

Exercice 1 : … / 8

Partie A : Dans le plan complexe, on donne les points A(- ), B(- ) et C( ) et on pose : =

1. Déterminer la forme algébrique de . En déduire sa forme exponentielle.

2. Déterminer la nature du triangle ABC.

Partie B : Dans le plan complexe, à tout point M d'affixe ≠ on associe le point M' d'affixe tel que : =

1. Déterminer, en utilisant un argument de , l'ensemble e des points M tels que soit réel.

2. Déterminer, en utilisant la forme algébrique de , l'ensemble f des points M tels que soit un imaginaire pur.

3. Tracer e et f ci-dessous.

z 2¡i Z

Z ^z+2_z ^¡3i

¡2+i

Z

Z Z

Z

4 + 2i i 3 + 3i

Z _z^zC¡zB

A¡zB

Z

Exercice 2 : … / 9 Partie A :

Dans le plan muni d'un repère orthonormé (O; , ) on désigne par c la courbe représentative de la fonction définie sur ]0;+∞[ par :

= + + où , et sont trois réels à déterminer.

On a tracé sur le graphique ci-dessous la courbe c ainsi que la droite d d'équation = 1.

On précise que la courbe c passe par les points A(1;0) et B(4;0) et que l'axe des ordonnées et la droite d sont asymptotes à la courbe c .

1. Donner, en justifiant, les valeurs de et .

2. Donner, en justifiant, la valeur de . En déduire la valeur de . 3. En déduire que, pour tout réel de ]0;+∞[ : = .

Partie B :

Soit la fonction définie sur ]0;+∞[ par :

= – .

1. Déterminer la limite de lorsque tend vers 0.

2. Déterminer la limite de lorsque tend vers +∞.

3. a) Démontrer que, pour tout réel de ]0;+∞[ : = .

b) En déduire le tableau de variations de la fonction sur l'intervalle ]0;+∞[ en précisant les limites et les valeurs exactes des extremums locaux.

Exercice 3 : Température du thé. … / 3

Dans une pièce à température constante de 20 °C, Gaspard se prépare une tasse de thé.

A l'instant initial = 0, la température de son thé est de 100 °C. Quatre minutes plus tard, elle est de 80 °C.

On admet que la température du thé , en °C, est donnée par : =

où désigne le temps en minutes et et sont des constantes réelles.

Au dessus de 50 °C, Gaspard trouve que le thé est trop chaud et ne peut pas le boire.

Combien de temps devra-t-il attendre pour déguster son thé ? u

u(x)

f

f(x)

f

~i ~j u

a ^b x

c x² a b c

u y

u u

u(1) u(4)

x!lim+1u(x) a

x u(x) ^x

2¡5x+4 x² cu

d

x¡5ln(x) _x⁴

f(x) x

f(x) x

x f⁰(x) u(x)

t

µ(t)

µ(t) Ce^at+ 20

t C a

Correction du DS n°6 Exercice 1 :

Partie A : Dans le plan complexe, on donne les points A(- ), B(- ) et C( ) et on pose : =

1. Déterminer la forme algébrique de . En déduire sa forme exponentielle.

= = = = =

= = -

On a : | | = | - | = 1 et : Arg ( ) = Arg (- ) = - [2π] Donc : = Attention ! Eviter d'écrire ou qui peut sous-entendre . 2. Déterminer la nature du triangle ABC.

◦ | | = 1 ⇔ | | = 1 ⇔ | | = 1 ⇔ = 1 ⇔ BC = BA On en déduit que le triangle ABC est isocèle en B.

◦ Arg ( ) = - [2π] ⇔ Arg ( ) = - [2π] ⇔ ( ; ) = - [2π]

On en déduit que les vecteurs et sont orthogonaux et que le triangle ABC est rectangle en B.

Partie B : Dans le plan complexe, à tout point M d'affixe ≠ on associe le point M' d'affixe tel que : =

1. Déterminer, en utilisant un argument de , l'ensemble e des points M tels que soit réel.

Soient A et B les points d'affixes respectives = - et =

M( ) ∈ e ⇔ ∈ R ⇔ Arg ( ) = 0[π] ⇔ Arg ( ) = 0[π] et ≠ M( ) ∈ e ⇔ Arg ( ) = 0[π] et ≠

M( ) ∈ e ⇔ ( ; ) = 0[π] et M ≠ B M( ) ∈ e ⇔ M ∈ (AB) et M ≠ B

Ainsi, l'ensemble e est la droite (AB) privée du point B d'affixe = .

2. Déterminer, en utilisant la forme algébrique de , l'ensemble f des points M tels que soit un imaginaire pur.

On pose = , où et sont deux réels.

= = = =

= = =

M( ) ∈ f ⇔ ∈ R ⇔ Re ( ) = 0 ⇔ = 0 et ( ; ) ≠ (2;-1) M( ) ∈ f ⇔ = 0 et ≠

M( ) ∈ f ⇔ = 0 et ≠

M( ) ∈ f ⇔ = 8 et M ≠ B

= 8 est l'équation cartésienne du cercle c de centre Ω (0;1) et de rayon = . Vérifions si B appartient au cercle c :

= = 4 + 4 = 8 Donc B ∈ c.

Finalement, l'ensemble f est le cercle c de centre Ω (0;1) et de rayon = , privé du point B.

4 + 2i i 3 + 3i

Z _z^zC¡zB

A¡zB

Z

z 2¡i Z

Z ^z+2¡3i z¡2+i

Z Z

Z Z

Z ^zC¡zB zA¡zB

3+3i+i -4+2i+i

3+4i -4+3i

(3+4i)(-4¡3i) (-4+3i)(-4¡3i)

-3£4¡4£3i²+i(-3£3¡4£4) (-4)²+3²

Z ^-12+12₂₅^¡25i i

Z i i ^¼₂ Z

e

e

e

e

Z _z^zC¡zB

A¡zB

BC BA z¡!

BC

z¡!

BA

Z

Z ^¼₂ ^z_z^{C¡zB ¼}₂

A¡zB

¡!BA ¡!BC ^¼₂

¡!BA ¡!

BC

Z

2 + 3i

zA zB 2¡i

Z ^z+2¡3i

z¡2+i z¡zA

z¡z_B

2¡i z

z zB

¡¡!BM ¡¡!AM z

z z z

zB 2¡i

Z ^z+2_z¡2+i^¡3i

Z x+iy x y

(x+2)+i(y¡3) (x¡2)+i(y+1) x+iy+2¡3i

x+iy¡2+i

[(x+2)+i(y¡3)][(x¡2)¡i(y+1)]

[(x¡2)+i(y+1)][(x¡2)¡i(y+1)]

Z ^{(x+2)(x¡2)¡i}

2(y¡3)(y+1)+i[(x+2)(-y¡1)+(y¡3)(x¡2)]

(x¡2)²+(y+1)² Z ^(x

2¡4+y²¡2y¡3)+i(-xy¡x¡2y¡2+xy¡2y¡3x+6) (x¡2)²+(y+1)²

Z ^(x

2+y²¡2y¡7)+i(-4x¡4y+4) (x¡2)²+(y+1)²

z Z i Z ^x

2+y²¡2y¡7 (x¡2)²+(y+1)² x²+y²¡2y¡7

x y

z z zB

z (x¡0)²+ (y¡1)²¡1¡7 z zB

z (x¡0)²+ (y¡1)²

(x¡0)²+ (y¡1)² p

8 r (2¡0)²+ (-1¡1)² (2)²+ (-2)²

r p 8

3. Tracer e et f ci-dessous.

Exercice 2 : Partie A :

Dans le plan muni d'un repère orthonormé (O; , ) on désigne par c la courbe représentative de la fonction définie sur ]0;+∞[ par :

= + + où , et sont trois réels à déterminer.

On a tracé sur le graphique ci-dessous la courbe c ainsi que la droite d d'équation = 1.

On précise que la courbe c passe par les points A(1;0) et B(4;0) et que l'axe des ordonnées et la droite d sont asymptotes à la courbe c .

1. Donner, en justifiant, les valeurs de et . On sait que : A(1;0) ∈ c et B(4;0) ∈ c On en déduit : = = 0

2. Donner, en justifiant, la valeur de . En déduire la valeur de . La droite d d'équation = 1 est asymptote horizontale à la courbe c en +∞.

On en déduit : = 1

Or : = = 0. Donc, par somme de limites : = = 1

~i ~j u

u

u(x) a _x^b _x^c2

a b c

u y

u u

u(1) u(4)

x!lim+1u(x) a

cu

d e

f

u u

u(1) u(4)

u x!lim+1u(x)

y b

x

c x²

x!lim+1 lim

x!+1 lim

x!+1u(x) a

3. En déduire que, pour tout réel de ]0;+∞[ : = . La fonction est définie sur ]0;+∞[ par : = 1 + + Or : = = 0

On en déduit que et sont solutions du système :

(S) : ⇔ ⇔

(S) : ⇔ ⇔

Finalement : ∀ ∈ ]0;+∞[, = 1 – + = Partie B :

Soit la fonction définie sur ]0;+∞[ par :

= – .

1. Déterminer la limite de lorsque tend vers 0.

= – = ( )

= 0 et = 0 donc, par produit et sommes : [ ] = -4 = +∞

On en déduit, par produit de limites : = -∞ 2. Déterminer la limite de lorsque tend vers +∞.

= – = (1 – 5 – )

= 0 et = 0 donc, par produit et sommes : [1 – 5 – ] = 1 = +∞

On en déduit, par produit de limites : = +∞ 3. a) Démontrer que, pour tout réel de ]0;+∞[ : = .

∀ ∈ ]0;+∞[, = – = – 4

Donc : = 1 – 5 – 4 = 1 – + = =

b) En déduire le tableau de variations de la fonction sur l'intervalle ]0;+∞[ en précisant les limites et les valeurs exactes des extremums locaux.

∀ ∈ ]0;+∞[, = et > 0

On en déduit que a le même signe que sur ]0;+∞[.

∆ = = = 25 – 16 = 9 > 0

On en déduit deux racines distinctes :

= = = 1 et : = = = 4

Le trinôme est du signe de = 1, c'est-à-dire positif, à l'extérieur des racines.

Enfin :

= – = 1 – 4 = -3 et : = – =

On en déduit le tableau de variations suivant :

0 1 4 +∞

+ – +

-3 +∞ -∞

x u(x) ^x

2¡5x+4 x²

f

f(x) x¡5ln(x) _x⁴

f(x) x

f(x) x

x f⁰(x) u(x)

f

u u(x) _x^b _x^c2

u(1) u(4) a b

½ 1 +b+c= 0 1 + ^b₄ + ₁₆^c = 0

½ 1 +b+c= 0 16 + 4b+c= 0

½ c= -1¡b

16 + 4b¡1¡b= 0

½ c= -1¡b 3b= -15

½ c= -1¡b b= -5

½ b= -5

c= -1 + 5 = 4

x u(x) _x⁵ _x⁴₂ ^x

2¡5x+4 x²

f(x)

f(x) x¡5ln(x) ⁴

x x ^ln(x)

x

4 x² lim

x!0⁺ lim

x!0⁺

lim

x!0⁺

1 x x ln(x)

x²¡5x ln(x)¡4 x¡5ln(x) _x⁴

lim

x!0⁺ x² x²¡5x ln(x)¡4

1 x

lim

x!0⁺f(x)

f(x)

lim

x!0⁺ x!lim+1

ln(x) x

4 x²

x!lim+1

ln(x) x

4 x²

x!lim+1x

x!lim+1

x f(x) x¡5ln(x) _x⁴ x¡5£ln(x) £_x¹ f⁰(x) £_x¹ £_x^-12 _x⁵ _x^{42 x2¡}_x^5x+42 u(x)

x f⁰(x) ^x

2¡5x+4 x² x²

x² ¡5x+ 4 f⁰(x)

b²¡4ac (-5)²¡4£4

x1 -b+p

¢ 2a

5+3 x2 2

-b¡p

¢ 2a

5¡3 2

a

f(1) 1¡5ln(1) ⁴₁ f(4) 4¡5ln(4) ⁴₄ 3¡5ln(4)

f⁰(x) f(x)

x

O O

3¡5ln(4)

Exercice 3 : Température du thé.

Dans une pièce à température constante de 20 °C, Gaspard se prépare une tasse de thé.

A l'instant initial = 0, la température de son thé est de 100 °C. Quatre minutes plus tard, elle est de 80 °C.

On admet que la température du thé , en °C, est donnée par : =

où désigne le temps en minutes et et sont des constantes réelles.

Au dessus de 50 °C, Gaspard trouve que le thé est trop chaud et ne peut pas le boire.

Combien de temps devra-t-il attendre pour déguster son thé ? On commence par chercher les valeurs des constantes et :

• A l'instant initial = 0, la température du thé est de 100 °C. Donc : = 100 ⇔ = 100 ⇔ = 100 ⇔ = 80

• Quatre minutes plus tard, elle est de 80 °C. Donc :

= 80 ⇔ = 80 ⇔ = 60 ⇔ = ⇔ = ⇔ = Ainsi : =

On cherche combien de temps devra attendre Gaspard avant que la température du thé soit inférieure ou égale à 50 °C.

≤ 50

≤ 50 ≤ 30 ≤

≤ ≤

Or : 0 < 0,75 < 1 donc : < 0 On en déduit :

≥ ≈ 13,64

Ainsi, Gaspard devra attendre au moins 13,7 minutes avant de pouvoir déguster son thé.

Remarque : On arrondit par excès pour que la température du thé passe en dessous de 50 °C.

t

µ(t)

µ(t) Ce^at+ 20

t C a

t

µ(0) Ce⁰+ 20 C+ 20 C

µ(4) 80e^4a+ 20 80e^4a e^{4a 3}₄ 4a ln(0,75) a ¹₄ln(0,75) µ(t) 80e^14ln(0,75)t + 20

C a

µ(t)

80e^14ln(0,75)t+ 20 80e^14ln(0,75)t e^{14ln(0,75)t 3}₈

1

4 ln(0,75)t ln(0,375) ln(0,75)t 4ln(0,375)

ln(0,75) t 4 ^ln(0,375)_ln(0,75)