a. Montrer que

(1)

MPSI B Année 20011-20012 Énoncé DM 8 29 juin 2019

Exercice 1.

1. On considère trois nombres réels a, b, c quelconques.

a. Montrer que

a

³

+ b

³

+ c

³

− 3abc = (a + b + c) 1 2

(a − b)

²

+ (b − c)

²

+ (c − a)

²

b. En déduire que, si a, b, c sont trois réels strictement positifs, ils vérient a + b + c ≥ 3(abc)

¹³

, 1

a + 1 b + 1

c ≥ 3(abc)

⁻¹³

.

2. On considère les suites (a

n

)

n∈N

, (b

n

)

n∈N

, (c

n

)

n∈N

déterminées par la donnée de leurs premiers termes a

0

> 0 , b

0

> 0 , c

0

> 0 et par les relations de récurrence



 



 



a

n+1

= a

n

+ b

n

+ c

n

3 b

_n+1

= (a

_n

b

_n

c

_n

)

^1/3

3 c

n+1

= 1 a

n

+ 1 b

n

+ 1 c

n

.

Justier que les suites sont bien dénies et montrer que : ∀n ≥ 1, c

_n

≤ b

_n

≤ a

_n

. 3. Démontrer que (a

n

)

_n∈N

et (c

n

)

_n∈N

sont adjacentes. Que peut-on dire de (b

n

)

_n∈N

? 4. a. Montrer que a

1

c

1

= b

²₁

entraîne a

n

c

n

= b

²₁

pour tous les n . Que peut-on en

conclure pour la limite des trois suites ?

b. Montrer que si a

1

c

1

6= b

²₁

, la suite (b

n

)

_n∈_N

est monotone.

Exercice 2.

Pour toute partie

¹

A de N et tout entier n ≥ 1 , on pose S

_n

(A) = Card(A ∩ J 1, n K ) et on appelle densité de Schnirelmann de A le réel

σ(A) = inf{ S

n

(A)

n , n ≥ 1}

Si A et B sont deux parties de N, on pose

A + B = {a + b, a ∈ A, b ∈ B}

1D'après le problème 1 de l'ouvrage "Problèmes choisis de mathématiques supérieure" (Springer).

1. a. Justier la dénition de σ(A) et montrer que σ(A) ≤ 1 . b. Que vaut σ(A) si 1 6∈ A ?

c. Sous quelle condition a-t-on σ(A) = 1 ? d. Si A ⊂ B , comparer σ(A) et σ(B) . 2. Calculer σ(A) pour les parties suivantes :

a. A est une partie nie de N.

b. A est l'ensemble des entiers impairs.

c. Soit k ≥ 2 entier xé et A l'ensemble des puissances k -ièmes d'entiers.

A = {m

^k

, m ∈ N

^∗

}

3. Soit A et B deux parties de N contenant 0 , soit n ≥ 1 un nombre entier. En considérant C = {n − b, b ∈ J 0, n K ∩ B }

montrer que

S

_n

(A) + S

_n

(B) ≥ n ⇒ n ∈ A + B 4. Soit A et B deux parties de N contenant 0 .

a. Montrer que si σ(A) + σ(B) ≥ 1 alors A + B = N.

b. Montrer que si σ(A) ≥

¹₂

alors tout entier est la somme de deux éléments de A .

Cette création est mise à disposition selon le Contrat

Paternité-Partage des Conditions Initiales à l'Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/

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Rémy Nicolai M1108E