a. Montrer que

MPSI B 29 juin 2019

Énoncé

1. On considère trois nombres réels a, b, c quelconques.

a. Montrer que

a ³ + b ³ + c ³ − 3abc = (a + b + c) 1 2

(a − b) ² + (b − c) ² + (c − a) ²

b. En déduire que, si a, b, c sont trois réels strictement positifs, ils vérient a + b + c ≥ 3(abc)

, 1

a + 1 b + 1

c ≥ 3(abc) ⁻

.

2. On considère les suites (a _n ) _{n∈ N} , (b _n ) _{n∈ N} , (c _n ) _{n∈ N} déterminées par la donnée de leurs premiers termes a ₀ > 0 , b ₀ > 0 , c ₀ > 0 et par les relations de récurrence



 

 



 

 



a _n+1 = a n + b n + c n

3 b _n+1 = (a _n b _n c _n ) ^1/3

3 c n+1

= 1 a n

+ 1 b n

+ 1 c n

.

Justier que les suites sont bien dénies et montrer que : ∀n ≥ 1, c n ≤ b n ≤ a n . 3. Démontrer que (a _n ) _{n∈ N} et (c _n ) _{n∈ N} sont adjacentes. Que peut-on dire de (b _n ) _{n∈ N} ? 4. a. Montrer que a ₁ c ₁ = b ² ₁ entraîne a _n c _n = b ² ₁ pour tous les n . Que peut-on en

conclure pour la limite des trois suites ?

b. Montrer que si a ₁ c ₁ 6= b ² ₁ , la suite (b _n ) _{n∈ N} est monotone.

Corrigé

1. a. Il s'agit d'une simple vérication. On développe et ordonne d'abord le crochet de droite, on obtient :

2(a ² + b ² + c ² ) − 2(ab + ac + bc) Quand on multiplie par a + b + c , on obtient :

2(a ³ + b ³ + c ³ ) + 2(ab ² + ac ² + ba ² + bc ² + ca ² + cb ² )

− 2(a ² b + abc + ca ² + ab ² + b ² c + abc + abc + bc ² + c ² a)

= 2(a ³ + b ³ + c ³ ) − 6abc b. Dans la relation précédente, en remplaçant a par a

, b par b

, c par c

, on obtient

(tout est > 0 )

a + b + c = 3(abc)

+ terme positif avec des puissances 1 3 De même, en remplaçant a par a ⁻

, b par b ⁻

, c par c ⁻

, on obtient

1 a + 1

b + 1

c = 3(abc) ⁻

+ terme positif avec des puissances − 1 3 Cela prouve les inégalités demandées.

2. Les deux inégalités de la question précédentes se reformulent en : 3

1

a + ¹ _b + ¹ _c ≤ (abc)

≤ a + b + c 3

Il s'agit de la comparaison classique entre moyennes harmonique, géométrique et arith- métique.

Les suites sont bien dénies car chaque nouveau terme est strictement positif ce qui permet la poursuite du processus. La comparaison des moyennes montre par récurrence que

∀n ≥ 1 : c n ≤ b n ≤ a n

3. Montrons que (c n ) _{n∈ N} et (a n ) _{n∈ N} sont adjacentes.

Preuve de la croissance de (c n ) _n∈N .

c n ≤ b n ≤ a n ⇒



 



 

 1 a n

≤ 1 c n

1 b n

≤ 1 c n

⇒ c n+1 = 3

1 a

+ _b ¹

n

+ _c ¹

n

≥ c n

Cette création est mise à disposition selon le Contrat

Paternité-Partage des Conditions Initiales à l'Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/

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Preuve de la décroissance de (a n ) n∈ N .

c n ≤ b n ≤ a n ⇒

( c n ≤ a n

b n ≤ a n

⇒ a n+1 = a n + b n + c n

3 ≤ a n

Majoration de la diérence.

b n ≤ a n ⇒ a n+1 = a n + b n + c n

3 ≤ 2a n + c n

3 D'autre part c n+1 ≥ c n donc

a n+1 − c n+1 ≤ 2a n + c n

3 − c n = 2

3 (a n − c n ).

On en déduit que (a n − c n ) _n∈N est majorée par une suite géométrique de raison ² ₃ < 1 . Elle converge donc vers 0 par le théorème d'encadrement.

Il est alors évident, d'après le théorème d'encadrement encore, que (b n ) _n∈N

converge vers la limite commune de (a n ) n∈ N et (c n ) n∈ N .

4. Le point essentiel dans les deux questions suivantes est la formule a _n+1 c _n+1 = a _n b _n c _n (a _n + b _n + c _n )

a n b n + b n c n + c n a n (1)

a. En particulier, si a _n c _n = b ² _n , la formule devient a n+1 c n+1 = b ³ _n (a n + b n + c n )

a n b n + b n c n + b ² _n = b ² _n

Comme tout est positif, lorsque a ₁ c ₁ = b ² ₁ on obtient a ₂ c ₂ = b ² ₁ = b ² ₂ et la relation se propage par récurrence, la suite des b _n est alors constante. Les trois suites convergent vers b 1 qui est la moyenne géométrique de a 1 et c 1 .

b. On va montrer que si a ₁ c ₁ < b ² ₁ , la suite des b _n est décroissante. Remarquons que b ³ ₂ = a 1 b 1 c 1 < b ³ ₁ ⇒ b 2 < b 1 .

Il s'agit donc de montrer que a n c n < b ² _n pour tous les entiers n . La relation (1) peut encore s'écrire a n+1 c n+1 = f (a n c n ) avec

f : x → ux

x + v , u = b _n (a _n + b _n + c _n ), v = a _n b _n + b _n c _n .

La fonction f est croissante car elle peut s'écrire f (x) = u − uv

x + v et que tout est strictement positif. Alors :

a n c n < b ² _n ⇒ a n+1 c n+1 = f (a n c n ) < f (b ² _n ) = b ² _n puis :

b ³ _n+1 = a _n+1 b _n+1 c _n+1 < b ³ _n ⇒ b _n+1 < b _n

Le raisonnement est analogue lorsque a ₁ c ₁ > b ² ₁ et conduit à une suite décrois- sante.

Cette création est mise à disposition selon le Contrat

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