E531. Une année 2008 tout en couleurs
On demande la couleur de 2008 dans les deux cas suivants :
• Chacun des entiers naturels est colorié en rouge ou en jaune sachant que 8 est le plus petit entier de couleur jaune. La somme et le produit de deux entiers coloriés avec des couleurs différentes sont respectivement de couleurs rouge et jaune.
• Tous les entiers relatifs () sont coloriés en bleu ou vert ou noir et chacun d’eux a une seule couleur. La somme de deux nombres verts égaux entre eux ou non est un nombre bleu et la somme de deux nombres bleus égaux entre eux ou non est un nombre vert. L’opposé d’un nombre vert est un nombre bleu et réciproquement l’opposé d’un nombre bleu est un nombre vert. L’entier 1009 est vert et l’entier 1492 est noir.
Pour les plus courageux : donner la couleur d’un entier quelconque dans chacun des deux cas précédents ( entier naturel dans le 1er cas, entier relatif dans le 2ème cas)
Solution
Proposée par Fabien Gigante
Premier problème
Montrons par récurrence que est jaune si et seulement si est un multiple de 8.
La propriété est vraie pour tout rang 8 par hypothèse (si on doit attribuer une couleur à 0, il est nécessairement jaune).
Supposons la propriété vraie pour tout rang , et montrons qu’elle est alors vraie au rang . Posons 8 , avec 0 8.
• si 0, alors 8 est jaune et est rouge, donc 8 est rouge.
• si 0 et n’est pas multiple de 8, alors est rouge et 8 est jaune.
• si 0 et 8, alors 4 est rouge et 16 est jaune, donc 4.16 est jaune.
En particulier, 2008 8 251 est jaune.
Second problème
On note la congruence modulo 3.
Montrons par récurrence que :
Si est vert, alors . est noir quand 0, vert quand 1, bleu quand 2 (1) La propriété est vraie aux rangs 2 2. En effet, par construction : est vert, 2 est bleu, est bleu, 2 est vert et, en raisonnant par l’absurde, 0 est noir car il ne peut être ni bleu ni vert.
Supposons la propriété vraie pour tout rang 2 , et montrons qu’elle est alors vraie au rang .
• si 0
o si vert, alors 2 bleu, ce qui contredit 2 1 implique 2 vert o si bleu, alors vert, ce qui contredit 1 2 implique 1 bleu o donc est noir.
• si 1, alors 2 2 implique 2 bleu, donc 2 2 est vert.
• si 2, alors 1 1 implique 1 vert, donc 1 est bleu.
On montre de même que si la propriété vraie pour tout rang – 2, et elle est alors vraie au rang . Ce qui permet de conclure pour tout entier relatif.
Il découle de (1) la propriété (2) : si p et q sont verts, alors . En effet :
est vert, alors . est noir quand 0, vert quand 1, bleu quand 2 est vert, alors . est noir quand 0, vert quand 1, bleu quand 2
Prenons maintenant 1009, on remarque qu’il est premier et que 1. Supposons que premier avec soit également vert. Alors 1 d’après (2) et il existe , tels que . . 1, ce qui implique 1.
• si 2, alors . et . bleus donc 1 . . est vert.
• si 0 et 1, 1 vert, . vert, bleu, donc 1 1 . est vert.
• si 1 et 0, . vert, 1 vert, bleu, donc 1 . 1 est vert.
D’après (1), si 1 est vert, alors 1492 1 est vert, ce qui contredit l’énoncé.
Autrement dit, il n’existe aucun nombre vert qui ne soit pas un multiple de 1009. Il n’en existe aucun bleu non plus sans quoi son opposé serait vert et contredirait ce qui précède. On conclut finalement que :
1009 est noir quand 0, vert quand 1, bleu quand 2. Tous les autres nombres sont noirs.
En particulier 2008 est noir.
