E338 ‒ Les âges magiques
Problème proposé par Raymond Bloch
Je suis accompagné de six amis. Leurs âges et le mien exprimés en années sont des entiers distincts compris entre 15 et 99. Les six produits des six âges par le mien sont les six permutations d'un nombre entier de trois chiffres distincts et différents de 0. Quels sont nos sept âges?
Solution proposée par l'auteur
Soit N mon âge, et a1 à a6 les âges en ordre croissant de mes compagnons, tous compris entre 15 et 99 ans. Alors
(1) (ABC)=Na1 , (2) (ACB)=Na2 , (3) (BAC)=Na3 , (4) (BCA)=Na4 , (5) (CAB)=Na5 et
(6) (CBA) = Na6 . Les parenthèses autour des permutations de A,B et C indiquent des nombres de 3 chiffres, pour les distinguer des produits des 3 chiffres.
Comme a1 et N ≥15, (1) entraîne que A ≥2, donc (7) C – A ≤ 9 -2=7.
Nous allons montrer que N = 18 : de (1) à (6) on déduit alors que A, B et C sont trois chiffres pairs choisis parmi 2, 4, 6 et 8 dont la somme est divisible par 9. Il n’y a qu’une solution : A=4, B=6 et C=8. Et en effet :
18x26=468, 18x27=486, 18x36=648, 18x38=684, 18x47=846 et 18x48=864.
La solution est unique : j’ai 18 ans, et mes amis ont 26, 27, 36, 38, 47 et 48 ans.
Preuve que N = 18 : (2) – (1) donne (8) 9(C-B) = N(a2-a1) , donc les facteurs premiers de N sont parmi ceux de 9 et de (C-B), donc au plus 2, 3 et 5 puisque de (7) on déduit que (C-B)≤6.
Mais N ne peut pas être divisible par 5 : d’après (1) à (6), on aurait A=B=C=5, contradiction. Et N ne peut pas être divisible par 4 : on aurait C=9, B=5, A=1, contradiction puisque A≥2. Donc N est un multiple de 9 de la forme 3n ou 2 x 3n : les deux plus petites valeurs sont N=18 et N=27.
Supposons que N (4) – (2) montre que N(a4-a2) = 99(B-A), et de même (6) – (1) montre que N(a6-a1) = 99(C-A). Comme nous avons montré que N n’est pas multiple de 11, c’est que (a6- a1)et (a4-a2) sont multiples de 11 : comme l’intervalle (a4-a2) est strictement à l’intérieur de
l’intervalle (a6-a1), (a6-a1) ≥ 22, donc a6 ≥ 15+22=37. Si N était ≥27, on aurait d’après (6) (CBA)=Na6 ≥ 27x37= 999, contradiction puisque (CBA) est un nombre de 3 chiffres
distincts, ce qui prouve que N d’où N = 18, et la solution unique s’en déduit.
Remarque : l’encadrement des 7 âges entre 15 et 99 ans a pour but d’éliminer plusieurs solutions où mon âge N serait 9 :9x26=234,9x27=243,9x36=324,9x38=342,9x47=423,9x48=432.
9x52=468,9x54=486,9x72=648,9x76=684,9x94=846,9x96=864.
9x14=126,9x18=162,9x24=216,9x29=261,9x68=612,9x69=621.
9x15=135,9x17=153,9x35=315,9x39=351,9x57=513,9x59=531.
Il suffirait d’imposer que les 7 âges soient au moins égaux à 10 ans au lieu de 15, qui permet seulement de gagner un peu de temps dans la preuve de l’unicité de la solution.
