E338. Les âges magiques
Problème proposé par Raymond Bloch
Je suis accompagné de six amis. Leurs âges et le mien exprimés en années sont des entiers distincts compris entre 15 et 99. Les six produits des six âges par le mien sont les six permutations d'un nombre entier de trois chiffres distincts et différents de 0. Quels sont nos sept âges?
Les 6 produits sont de la forme cdu, cud, dcu, duc, ucd, udc. Mon âge k est un de leurs diviseurs commun ;
cud ≡ cdu (mod k) équivaut à 9.(u – d ) ≡ 0, de même dcu ≡ duc équivaut à 9.(u – c)≡ 0 et ucd ≡ udc équivaut à 9.(c – d)≡ 0
Les valeurs absolues de (u – d ), (u – c), (c – d) appartiennent à {1,2,3,4,5,6,7,8} et les seuls facteurs premiers que pourraient avoir en commun ces trois différences sont 2 et 3.
Les diviseurs communs à 9(u – c), 9(u – d), 9(c – d) sont de la forme 2a 3b . Il nous faut un diviseur commun supérieur à 9 car mon âge est au moins 15.
Pour que 2 divise k, il faut c, d, u tous pairs et en progression arithmétique de raison paire.
cdu = 642 ou cdu = 864
Le pgcd de 642, 624, 426, 462, 246, 264 est égal à 6 < 15 ne convient pas.
Le pgcd de 864, 846, 648, 684, 468, 486 est égal à 18 . Comme 15 < 18 < 99 cela convient.
864 = 18*48 846 = 18*47 684 = 18*38 648 = 18*36 486 = 18*27 468 = 18*26 J'ai 18 ans et les âges des six amis sont 48, 47, 38, 36, 27, et 26 ans .
Pour que 3 divise (u – d ), (u – c), (c – d), il faut c, d, u en progression arithmétique de raison 3 cdu = 963 ou 852 ou 741
Le pgcd de 963 et de ses ''permutations'' est 9 <15 Le pgcd de 852 et de ses ''permutations'' est 3 < 15 Le pgcd de 741 et de ses ''permutations'' est 3 < 15 Rien ne convient.
La seule solution est : J'ai 18 ans et les âges des six amis sont 48, 47, 38, 36, 27, et 26 ans .
