E338. Les âges magiques
Problème proposé par Raymond Bloch
Je suis accompagné de six amis. Leurs âges et le mien exprimés en années sont des entiers distincts compris entre 15 et 99. Les six produits des six âges par le mien sont les six permutations d'un nombre entier de trois chiffres distincts et différents de 0. Quels sont nos sept(¹) âges?
(1) souvent considéré comme chiffre "magique"
Solution proposée par Claudio Baiocchi
Un nombre entier de trois chiffres dont toute permutation est multiple de 2 doit employer uniquement des chiffres paires ; le 0 étant interdit, on doit choisir trois chiffres parmi 2, 4, 6, 8.
Supprimant le 4 ou le 6 les résultats ne sont pas multiples de 3.
Supprimant le 8 on parvient à sept nombres qui, en exploitant le facteur commun 6, sont donnés par . Le nombre 6 étant le plus grand facteur commun, ce choix ne convient pas.
Supprimant le 2 on parvient à et 18 est le plus grand facteur commun.
J’ai donc 18 ans et les âges de mes amis sont et 48.
