2015 personnes sont sur un immense champ de foire de sorte que les distances séparant deux quelconques d’entre elles sont toutes distinctes. Chacune lance une tarte à la crème en direction de son voisin le plus proche.
Parmi les quatre affirmations suivantes, distinguez les vraies des fausses en justifiant vos réponses.
1) Deux tartes à la crème se rencontrent si et seulement si deux personnes cherchent à s’entarter réciproquement.
2) Le réseau constitué par les trajectoires des tartes contient un ou plusieurs polygones fermés.
3) Il y a au moins une personne qui n’a pas été entartée.
4) Il y a une personne qui a été entartée six fois.
Notons B=t(A) si B est le point le plus proche de A (image de A). Il y a autant de tartes émises que de tartes reçues ; donc si une personne en reçoit au moins deux, une
personne au moins n’en reçoit pas.
1) Soient B=t(A), D=t(C) : C et D sont extérieurs au cercle Γ de centre A passant par B ; les segments AB et CD se croisent si CD coupe Γ selon une corde dont l’arc contient B ; mais alors CB<CD : il est impossible que deux segments joignant chacun un point à son image se croisent : les tartes ne peuvent se rencontrer que si chaque point est l’image de l’autre.
2) Si AB est le segment le plus court du polygone AB...C, avec par exemple A=t(B), et t(C)=A alors t(A)=B ou t(A) n’appartient pas au polygone : dans les deux cas, il y a un sommet qui ne reçoit pas de tarte. Il est donc impossible que le réseau contienne un polygone fermé.
3) Si AB est le segment le plus court, A=t(B) et B=t(A) ; si A ou B reçoit une
seconde tarte, il y a une personne qui n’en reçoit pas ; sinon, on peut supprimer les points A et B, et continuer avec les 2013 points restants, et ainsi de suite jusqu’à se retrouver éventuellement avec 3 points ; cas dans lequel l’un d’entre eux ne reçoit pas de tarte, les trois cotés du triangle étant de longueurs
différentes.
4) Si A=t(B) et A=t(C), BC est le plus grand coté du triangle ABC, donc l’angle BAC est supérieur à 60°. S’il y avait six points tels que B et C, la somme des angles correspondants serait supérieure à 360° : une personne ne peut être entartée six fois.
