D657. Polygones équiangles
Prouver qu'il est possible de construire un hexagone convexe équiangle dont les longueurs des côtés sont respectivement égales à 2018,2019,2020,2021,2022 et 2023.
Prouver qu'il est possible de construire un dodécagone convexe équiangle dont les longueurs des côtés sont respectivement égales à 2007,2008,2009,2010,2011,2012,2013,2014,2015,2016,2017 et 2018.
Pour les plus courageux: montrer qu'il est possible de construire pour tout entier k ≥ 1, un 6k-gone convexe équiangle dont les longueurs des cötés sont respectivement égales à 1,2,3,...,6k.
Solution proposée par Maurice Bauval
Soient les 3 vecteurs u (1,0), v(1/2,√3/2), w( –1/2,√3/2). On a u+w = v.
On construit la ligne brisée ABCDEFA' avec
AB = 2023u, BC=2020v, CD=2019w, DE= –2022u, EF= –2021v, FA= –2018w Vérifions que cette ligne brisée se referme en un hexagone équiangle :
AA' = (2023–2022)u + (2020–2021)v + (2019–2018)w = u –v +w = 0
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Soit le dodécagone régulier A'B'C'D'E'F'G'H'I'J'K'L' dont les côtés sont de longueur 1:
Soient les 6 vecteurs u=A'B', v=B'C', w=C'D', x=D'E', y=E'F', z=F'G'.
Notons que les trois sommes vectorielles suivantes sont nulles :
A'B'+E'F'+I'J' = u+y–w, B'C'+F'G'+J'K' = v+z–x, C'D'+G'H'+K'L' = w–u–y On construit la ligne brisée ABCDEFGHIJKLZ avec :
AB=2018u, BC=2007v, CD=2013w, DE=2010x, EF=2016y, FG=2011z, GH= –2017u, HI= –2008v, IJ= –2014w, JK= –2009x, KL= –2015y, LZ= –2012z.
Vérifions que cette ligne brisée se referme en un dodécagone convexe équiangle : AZ = u–v–w+x+y–z = (u+y–w) –(v+z–x) = 0 – 0 = 0 donc Z = A
Soit le 6-kgone régulier A0A1A2A3..A6k – 1 dont les côtés sont de longueur 1, et les vecteurs u0 =A0A1, u1 =A1A2, …. u6k – 1 =A6k – 1 A0 .
On construit la ligne brisée B0B1B2B3..B6k – 1 B6k telle que pour h entier de 0 à k – 1, on ait
BhBh+1 =(1+6h)uh Bh+2kBh+2k+1=(2+6h)uh+2k Bh+4kBh+4k+1=(3+6h)uh+4k
Bh+3kBh+3k+1 = (4+6h)uh+3k Bh+5kBh+5k+1 = (5+6h)uh+5k Bh+kBh+k+1 = (6+6h)uh+k
Vérifions que B6k =B0 et que la ligne brisée se referme en un 6-kgone :
uh+3k = – uh etc.., donc (BhBh+1+Bh+3kBh+3k+1)+(Bh+2kBh+2k+1+Bh+5kBh+5k+1)+(Bh+4kBh+4k+1+Bh+kBh+k+1 ) = –3(uh+uh+2k+uh+3k) = 0 parce que ces trois vecteurs de même longueur ont des orientations décalées de 120°
La somme de ces 6 vecteurs est nulle. Considérant les 6k vecteurs BiBi+1, on peut les répartir en k sommes de 6 vecteurs, chacune est nulle, donc on a bien B6k =B0 . Les côtés du 6-kgone convexe équiangle obtenu ont bien des longueurs égales à 1,2,3,4,5,6,... ,6k – 5, 6k – 4, 6k – 5, 6k – 3, 6k – 2, 6k – 1, 6k.
2 Figures page suivante
Hexagone équiangle de côtés 6, 3, 2, 5, 4, 1 :
Dodécagone équiangle construit à partir du point marqué B avec les côtés consécutifs de longueurs 12, 1, 7, 4, 10, 5, 11, 2, 8, 3, 9, 6 : La différence des longueurs de deux côtés opposés est égale à un.
