Universit´e Denis Diderot (Paris VII) 2009-2010
CM 3 Groupe Concours
Feuille 1
Etude locale de fonctions.
Exercice1 — D´eterminer les limites suivantes : 1. lim
x→0+
ax+bx+cx 3
1x
, o`ua, b, c >0.
2. lim
x→π2
(1−sinx)(1−sin2x)· · ·(1−sinnx)
cos2nx .
3. lim
x→0+
xx−(sinx)sinx
x3 .
Exercice2 — ´Etudier les branches infinies du graphe de la fonctionx7→f(x) =x2ln(1 +1x) lorsquextend vers +∞ou−∞(pr´eciser la position du graphe par rapport `a l’asymptote ´eventuelle).
Exercice3 — Former le d´eveloppement asymptotique en +∞, `a la pr´ecision x13, de x7−→xln(x+ 1)−(x+ 1) lnx.
Exercice4 — Calculer des d´eveloppements limit´es de : 1. x7→cosxsinx`a l’ordre 3 en 0.
2. x7→exsinx`a l’ordre 3 en 0.
3. x7→ex−x2/2+x3/3`a l’ordre 4 en 0.
4. x7→ x+2x1+x22 `a l’ordre 3 en 1.
5. x7→ ln(1+x)sinx `a l’ordre 4 en 0.
6. x7→arcsinx`a l’ordre 3 en 0.
Exercice5 — Calculer les limites suivantes : 1. lim
x→0
sinx−x tanx−x 2. lim
x→0
cosx−ex2 xtanx−x2 3. lim
x→1
lnx
(x−1)2 − 1 x−1
Exercice6 — Montrer que la fonction x7→x+ ln(1 +x) admet au voisinage de z´ero une fonction r´eciproque et en donner un d´eveloppement limit´e en 0 `a l’ordre 3
Exercice7 — Soitf la fonction d´efinie sur ]−1; 1[−{0} par f(x) = cosx
ln(1 +x)− 1 x.
Montrer quef admet un prolongement par continuit´e en 0 et que ce prolongement est d´erivable en 0.
1
Exercice8 — Soitf une application d´erivable deRdansRtelle que f(0) = 0 et f0= 1 +f+f2.
Calculer un d´eveloppement limit´e def `a l’ordre 4 en 0.
Exercice9 — Le but de l’exercice est d’´etudier la fonctionf d´efinie sur ]1; +∞[ parf(x) = Z x2
x
dt lnt. o. montrer l’in´egalit´e suivante :
∀u >0, u−u2
2 ≤ln(1 +u)≤u−u2 2 +u3
3 . (1)
i. Montrer quef est d´erivable et en d´eduire quef est strictement croissante.
ii. D´emontrer que lim
1+
f = ln 2.
iii. Montrer que lim
+∞f = +∞
Exercice10 —
1. Montrer que pour toutn∈N∗, l’´equation|xsinx|= 1 admet une unique solutionxn∈]nπ;nπ+π 2[.
2. Montrer quexn=nπ+ 1 nπ +o
1 n
quandn→ ∞.
3. (plus difficile)Montrer qu’on peut remplacero n1
paro n12
.
2
