res-serie-num

(1)

valeurs dans un espace norm´ e de dimension finie

D´ efinitions.

Dans ce chapitre K représente indifférement le corps des réels R, ou le corps des complexes C. Le symbole E représente un espace vectoriel normé de dimension finie sur K. Se donner une série à valeurs dans E, c’est se donner une suite u = (un)n à valeurs dans E. On parle alors de la série de terme général u_n, ou encore de la série P u_n. Si E = K, on parle de série numérique, réelle, ou complexe, selon que K = R ou K = C. Lorsque E est un espace vectoriel normé de dimension finie, on notera |x|, la norme du vecteur x de E, et non pas kuk. Nous réserverons la notation kf k pour représenter la norme au sens de la convergence uniforme d’une fonction f X → E (cf.

chapitre suivant).

Définition 1.1 On appelle somme partielle d’ordre n de la série de terme général u_n le vecteur de E défini par :

Sn(u) =

n

X

k=0

u_k.

Définition 1.2 On dit que la série de terme général u_nest convergente si la suite de ses sommes partielles est une suite convergente d’éléments de E. La limite de cette suite est appelée la somme de la série, et notée P+∞

n=0un. Autrement dit, par d´efinition,

∞

X

n=0

u_n= lim

n→∞S_n(u) = lim

n→+∞

n

X

k=0

u_k.

Attention ! Dans le cas d’une série à termes réels, dire qu’elle est convergente c’est dire que la suite de ses sommes partielles est une suite de réels qui admet une limite finie. Dans le cas ou, par exemple, lim_n→∞S_n(u) = +∞ on écrit aussi P+∞

n=0u_n = +∞ mais la s´erie n’est pas une s´erie convergente.

Définition 1.3 On suppose que la série de terme général u_n est convergente de somme S(u) ; on appelle reste d’ordre n de la série, la quantité

R_n(u) = S(u) − S_n(u) =

∞

X

k=n+1

u_k.

(2)

Remarques :

1. En pratique les séries considérées sont souvent des suites définies, non pas sur N tout entier, mais sur un intervalle de N de la forme [n0 + ∞[. Les modifications

`

a faire dans les énoncés sont évidentes. Il est d’ailleurs important de remarquer que l’on ne change pas la nature d’une série, c’est à dire le fait qu’elle converge ou non, en enlevant un nombre fini de termes.

2. Soit P u_n une série convergente. La suite des sommes partielles (Sn(u)) et la suite extraite (Sn−1(u)) ont toutes deux pour limite la somme de la série. Il en résulte que lim_n→∗∞u_n = lim_n→+∞S_n(u) − S_n−1(u) = S(u) − S(u) = 0. Mais cette condition n’est pas suffisante pour assurer la convergence de la série (penser par exemple àP u_navec un= 1/n).

Exemple: Soit la série numérique de terme général un= 1

n(n + 1). Sa somme partielle d’ordre n est

Sn(u) =

n

X

k=1

uk = 1 1.2+ 1

2.3 + . . . + 1 n(n + 1). Si on remarque que 1

k(k + 1) = 1 k − 1

k + 1 cette somme s’´ecrit S_n(u) =

1 −1

2

+ 1

2 −1 3

+ . . .

1 n − 1− 1

n

+ 1

n− 1 n + 1

.

Ceci est une somme t´elescopique qui se simplifie en S_n(u) = 1 − 1

n + 1. Quand n tend vers l’infini, S_n(u) tend donc vers 1, et, par définition de la convergence et de la somme d’une série, on a prouvé que

∞

X

n=1

1

n(n + 1) = 1.

Pour des exemples similaires de s´eries t´elescopiques, voir les premiers exercices.

Exemple: La série réelle de terme général un = 1/n, n ≥ 1, est appelée la série harmonique. Soit

Sn(u) =

n

X

k=1

1 k

sa somme partielle d’ordre n. Consid´erons S2n− S_n =P2n k=n+1 1

k. C’est une somme de n fractions, dont la plus petite est 1/2n ; on a donc

S2n− S_n≥ n 1 2n = 1

2.

Si la suite (S_n) convergeait vers une limite S, la suite extraite (S_2n) convergerait aussi vers S, et la diff´erence S2n− S_n convergerait vers 0, ce qui est faux, vue la minoration ci desssus. La s´erie harmonique est donc divergente.

(3)

S´ eries num´ eriques ` a termes positifs.

De nombreux théorèmes simplifient l’étude des séries numériques à termes réels positifs. Rappelons ici les principaux.

Théorème 1.4 Pour qu’une série numérique à termes positifs soit convergente il faut et il suffit que la suite de ses sommes partielles soit majorée.

Preuve : Soit Snla somme partielle d’ordre n. Puisque Sn+1= Sn+ un≥ S_n, la suite (S_n)_nest croissante, et par le th´eor`eme de la limite monotone, la suite croissante (S_n)_n

converge si, et seulement si, elle est major´ee.

Théorème 1.5 (Série géométrique) La série géométrique de premier terme a et de raison r ≥ 0 converge si et seulement si r < 1. Dans ce cas on a

∞

X

n=0

arⁿ= a 1 − r.

Théorème 1.6 (La règle de comparaison) Soient (u_n)_n et (v_n)_n deux suites po- sitives, telles que u_n≤ v_n pour tout n. Alors

1. Si la s´erie P v_n converge, la s´erie P u_n converge, et P+∞

n=0u_n≤P+∞

n=0v_n. 2. Si la s´erie P u_n diverge, la s´erie P v_n diverge aussi.

Théorème 1.7 (Le critère de d’Alembert) Soit (u_n) une suite strictement positive telle que limn→∞

un+1

u_n = R.

1. Si R < 1 la s´erie P u_n est convergente.

2. Si R > 1 alors lim un= +∞, et P u_n diverge grossi`erement.

Attention ! Une faute très courante consiste à se contenter de vérifier que u_n+1/u_n < 1.

Non, l’important ce n’est pas que chacun des u_n+1/u_n soit strictement plus petit que 1, mais que la limite de (u_n+1/u_n) soit strictement plus petite que 1. Là encore penser à l’exemple de la série harmonique u_n = 1/n ; on a u_n+1/u_n< 1, mais la série diverge.

Théorème 1.8 (La règle de Cauchy) Soit (u_n) une suite strictement positive telle que limn→∞u^1/nn = R.

1. Si R < 1 la s´erie P u_n est convergente.

2. Si R > 1 alors lim u_n= +∞, et P u_n diverge grossi`erement.

Théorème 1.9 (La règle des équivalents) Soient (u_n)_n et (v_n)_n deux suites posi- tives dont les termes généraux sont équivalents, alors les sériesP u_n et P v_n sont de même nature, c’est à dire que l’une converge si et seulement si l’autre converge. De plus

1. Si les deux s´eries sont divergentes on a, pour n tendant vers l’infini : S_n(u) =

n

X

k=0

u_k ∼ S_n(v) =

n

X

k=0

v_k

(4)

2. Si les deux s´eries sont convergentes on a, pour n tendant vers l’infini : Rn(u) =

∞

X

k=n+1

u_k ∼ R_n(v) =

∞

X

k=n+1

v_k

Attention ! Cet énoncé est faux sans l’hypothèse un, vn> 0. Vérifiez le avec un= (−1)ⁿ/√ n et vn= un+ 1/n.

Les lemmes suivants sont très importants. Il n’est pas nécessaire de connaitre par coeur leurs énoncés, mais il faut les retrouver chaque fois qu’ils sont utiles. Ils per- mettent de déterminer la nature d’une série, mais aussi d’encadrer sa somme et, plus utilement, son reste R_n. Ceci est important pour le calcul de la somme avec une bonne précision, même dans le cas d’une série très lentement convergente, comme la série de terme général 1/(n ln²n) (cf . exercices).

Lemme 1.10 (Comparaison avec une intégrale) Soit f continue par morceaux, positive décroissante, définie sur [a − 1, +∞[, avec a entier naturel non nul. Pour tout entier b ≥ a, on a :

Z b+1 a

f (t)dt ≤

k=b

X

k=a

f (k) ≤ Z b

a−1

f (t)dt.

Preuve : Pour tout k on a Z k+1

k

f (t)dt ≤ f (k) ≤ Z k

k−1

f (t)dt,

car f (t) ≤ f (k) sur [k, k + 1], et f (t) ≥ f (k) sur [k − 1, k]. En additonnant terme à terme ces encadrements pour k variant de a à b on obtient le résultat. Théorème 1.11 Si f est une fonction positive décroissante sur R, la série de terme général un= f (n) est de nême nature que l’intégrale impropre

Z ∞ a

f (t)dt.

Lemme 1.12 Soit f positive et décroissante, telle que l’intégrale impropre R∞ n f (t)dt soit convergente. Le reste d’ordre n de la série de terme général u_n = f (n), R_n = P+∞

k=n+1f (k) est encadr´e par Z ∞

n+1

f (t)dt ≤ R_n≤ Z ∞

n

f (t)dt.

Théorème 1.13 (Les séries de Riemann) . Soit α > 0. La série de terme général 1

n^α converge si et seulement si α > 1.

Note : Une autre famille classique de séries est la famille des séries de Bertrand. Ce sont les séries de la forme u_n= 1/(n^αlog^βn). Si α 6= 1 c’est lui qui dicte la nature : il y a convergence si α > 1 et divergence si α < 1. Si α = 1, il y convergence si et seulement si β > 1. Ce résultat n’est pas au programme du CAPES. Vous devez donc, si vous en avez besoin, le démontrer.

(5)

S´ eries ` a termes quelconques.

Quand les unne sont pas des r´eels ≥ 0, un bon moyen de prouver que la s´erieP u_n est convergente est d’utiliser la notion de convergence absolue :

Définition 1.14 Soit P u_n une série à valeurs dans E. Si la série de terme général P |u_n| est une série convergente, on dit que la série P u_n est absolument convergente.

Théorème 1.15 SoitP u_n une série à valeurs dans un espace vectoriel normé E de dimension finie, absolument convergente. Alors cette série est convergente, et

∞

X

n=0

un

≤

∞

X

n=0

|u_n| .

Si la série n’est pas absolument convergente, ou si on ne sait pas répondre à cette question, on peut regarder du coté du théorème des séries alternées, ou de sa généralisation qui est le critère d’Abel.

Définition 1.16 Soit P u_n une série réelle. On dit que P u_n est une série alternée si (−1)ⁿu_n est de signe constant.

Théorème 1.17 (Théorème des séries alternées) Soit P u_n une série alternée, avec (|u_n|)_n décroissante de limite 0,

Alors la s´erie est convergente, et, de plus

1. sa somme est du signe du premier terme, et elle est major´ee en valeur absolue par celui ci, c’est `a dire

∞

X

k=0

uk

≤ |u₀|.

2. Pour tout n, le reste Rn(u) est du signe de un+1 et |Rn(u)| ≤ |un+1| .

Remarque : La décroissance de |u_n| est essentielle. Lorsque |u_n| n’est pas décroissante, la série n’est en général pas convergente, et quand elle converge, l’assertion 2 est en général fausse.

La m´ethode de sommation d’Abel

Dans le cas d’une série réelle non alternée dont le signe oscille suffisamment rapide- ment, ou bien dans le cas d’une série à valeurs dans E, non absolument convergente, on peut essayer le critère d’Abel, qui est la généralisation du théorème des séries alternées.

Mais ce critère n’est pas au programme du CAPES. Ce qui est au programme c’est la méthode de sommation d’Abel qui est le calcul aboutissant au lemme suivant, lemme, qu’il faudra redémontrer chaque fois qu’on en aura besoin.

Lemme 1.18 (Lemme d’Abel) Soit (an)nune suite de réels positifs, décroissante, et (un)n une suite à valeurs dans E telle que ∀n

n

X

k=0

u_k

≤ M. Alors

n

X

k=0

a_ku_k

≤ a₀M.

(6)

Remarque : Cet énoncé est simple à retenir si on remarque que le théorème des séries alternées est le cas particulier que l’on obtient en prenant dans l’énoncé ci dessus u_n= (−1)ⁿ, et M = 1.

Preuve : Notons S_n=Pn

k=0a_ku_k, et U_n=Pn

k=0u_k. On ´ecrit, et c’est ce calcul qui est la m´ethode de sommation d’Abel,

Sn = a0u0+ a1u1+ . . . anun

= a0U0+ a1(U1− U₀) + a2(U2− U₁) + . . . + an(Un− U_n−1)

= U₀(a₀− a₁) + U₁(a₁− a₂) + . . . U_n−1(a_n−1− a_n) + U_na_n

|S_n| ≤ M (a₀− a₁+ a₁− a₂+ . . . a_n−1− a_n+ a_n) = M a₀,

en majorant chaque |U_k| par M , et remarquant que, vue la d´ecroissance de a_n, |a_k−1−

a_k| = a_k−1− a_k.

Application de la méthode de sommation d’Abel à la convergence des séries

Soit donc anune suite de réels qui tendent vers 0 en décroissant, et unune suite à valeurs dans E telle qu’il existe un nombre M qui majore toutes les quantités

Pq n=pu_n

. On prouve la convergence de la s´erie P a_nun en proc´edant ainsi :

Notons Snla somme partielle d’ordre n, Sn=Pn

k=0a_ku_k. La méthode de sommation d’Abel appliquée à la série de terme général a_nu_n et de premier terme a_p+1u_p+1 donne la majoration

|S_q− S_p| =

k=q

X

k=p+1

akuk

≤ M a_p+1. (1.1)

Soit ε > 0 arbitraire. Vu lim_n→∞a_n= 0 l’équation (1.1) montre que |S_q− S_p| < ε pour p et q suffisamment grands. Autrement dit, (Sn)n est une suite de Cauchy, c’est dire que la série P a_nun est une série convergente. Mieux, en faisant tendre q vers l’infini dans la majoration (1.1), on obtient la majoration du reste

|R_p| = |S − S_q| ≤ M a_p+1, (1.2) qui est l’analogue de la majoration du reste dans le théorème (1.17) du théorème des séries alternée, la constante 1 étant remplacée par la constante M .

Produit de Cauchy de deux séries absolument convergentes Théorème 1.19 SoientP∞

n=0un etP∞

n=0vn deux séries numériques réelles ou complexes, absolument convergentes. Pour tout entier naturel n on définit

wn=

n

X

k=0

ukvn−k. Alors la s´erie P∞

n=0w_n est absolument convergente et sa somme est

∞

X

n=0

wn=

∞

X

n=0

un

! _∞ X

n=0

vn

! .