Liban 2012. Enseignement spécifique

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EXERCICE 4 (5 points) (candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité)

On se place dans le plan complexe muni d’un repère orthonormal direct O; −→u; −→v . 1) Un triangle

a)On considère les points A,BetCd’affixes respectivesa=2,b=3+i√3et c=2i√3. Déterminer une mesure de l’angleABC[.

b)En déduire que l’affixe ωdu centreΩdu cercle circonscrit au triangleABCest 1+i√ 3. 2) Une suite de nombres complexes

On note(z_n)la suite de nombres complexes, de terme initialz₀=0, et telle que :

z_n+1= 1+i√ 3

2 z_n+2, pour tout entier natureln. Pour tout entier natureln, on noteA_n le point d’affixez_n.

a)Montrer que les pointsA₂,A₃et A₄ont pour affixes respectives : 3+i√

3, 2+2i√

3 et 2i√ 3. On remarquera que :A₁=A,A₂=BetA₄=C.

b)Comparer les longueurs des segments[A₁A₂],[A₂A₃]et [A₃A₄]. c)Résoudre dansCl’équationz= 1+i√

3 2 z+2. d)Établir que pour tout entier natureln, on a :

z_n+1−ω= 1+i√ 3

2 (z_n−ω).

oùωdésigne le nombre complexe défini à la question1)b)(on utilisera le fait queω= 1+i√3 2 ω+2).

e)Déterminer la forme exponentielle de 1+i√ 3 2 .

f )Justifier que, pour tout entier natureln, on a : A_n+6=A_n. Déterminer l’affixe du point A₂₀₁₂.