Asie 2012. Enseignement spécifique
EXERCICE 2 (5 points) (candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité) Le plan est muni d’un repère orthonormal direct O; −→u ,→−v
. On considère le points A, d’affixezA= −√
3+i, le pointA1 d’affixezA1 =zA oùzAdésigne le conjugué dezA. On note enfinBle point d’affixezB =eiπ6zA1.
1) a)Écrire le nombre complexezA sous forme exponentielle, puis placer les pointsAetA1, dans le repère. On prendra 2 cm comme unité graphique.
b)Vérifier que zB=2e−2iπ3 sous forme exponentielle, puis écrire le nombre complexezB sous forme algébrique.
Placer alors le point Bdans le même repère.
2)On considère le vecteur unitaire−→w tel que →−u ,−→w
= π
12 et la droite∆passant parOde vecteur directeur→−w.
a)Démontrer que le triangleOAB est rectangle isocèle enO.
b)Tracer la droite∆.
c)Montrer que−−→ OA,−→w
=arg z→−w
zA
[2π]. On admettra que→−w,−→ OB
=arg zB
z−→w
[2π].
d)Montrer que∆est la bissectrice de l’angle−−→ OA,−→
OB .
En déduire que les pointsAetBsont symétriques par rapport à la droite∆.
3)On note B1 le symétrique deBpar rapport à l’axe O; −→u
puisB′ le point d’affixezB′ =eiπ6zB1. Démontrer queB′ =A.
4)Dans cette question, toute trace de recherche ou d’initiative, même non aboutie, sera prise en compte dans l’évaluation.
SoitCle point d’affixe√
2(1+i)et Dle symétrique deCpar rapport à la droite∆.
Construire les pointsCet D, puis calculer l’affixe du pointDsous forme exponentielle.
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