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Asie 2012. Enseignement spécifique

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Academic year: 2022

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Asie 2012. Enseignement spécifique

EXERCICE 2 (5 points) (candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité) Le plan est muni d’un repère orthonormal direct O; −→u ,→−v

. On considère le points A, d’affixezA= −√

3+i, le pointA1 d’affixezA1 =zA oùzAdésigne le conjugué dezA. On note enfinBle point d’affixezB =eiπ6zA1.

1) a)Écrire le nombre complexezA sous forme exponentielle, puis placer les pointsAetA1, dans le repère. On prendra 2 cm comme unité graphique.

b)Vérifier que zB=2e2iπ3 sous forme exponentielle, puis écrire le nombre complexezB sous forme algébrique.

Placer alors le point Bdans le même repère.

2)On considère le vecteur unitaire−→w tel que →−u ,−→w

= π

12 et la droite∆passant parOde vecteur directeur→−w.

a)Démontrer que le triangleOAB est rectangle isocèle enO.

b)Tracer la droite∆.

c)Montrer que−−→ OA,−→w

=arg zw

zA

[2π]. On admettra que→−w,−→ OB

=arg zB

zw

[2π].

d)Montrer que∆est la bissectrice de l’angle−−→ OA,−→

OB .

En déduire que les pointsAetBsont symétriques par rapport à la droite∆.

3)On note B1 le symétrique deBpar rapport à l’axe O; −→u

puisB le point d’affixezB =eiπ6zB1. Démontrer queB =A.

4)Dans cette question, toute trace de recherche ou d’initiative, même non aboutie, sera prise en compte dans l’évaluation.

SoitCle point d’affixe√

2(1+i)et Dle symétrique deCpar rapport à la droite∆.

Construire les pointsCet D, puis calculer l’affixe du pointDsous forme exponentielle.

http ://www.maths-france.fr 1 c Jean-Louis Rouget, 2014. Tous droits réservés.

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