Rochambeau 2012. Enseignement spécifique
EXERCICE 4 (5 points) (candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité) Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct O; −→u; −→v
.
On considère l’application fdu plan dans lui-même qui, à tout pointMd’affixez, associe le pointM′ d’affixez′ telle que :
z′=z2. On noteΩle point d’affixe1.
1)Déterminer l’ensembleΓ1des pointsMdu plan tels quef(M) =M.
2)SoitAle point d’affixea=√ 2−√
2i.
a)Exprimer asous forme exponentielle.
b) En déduire les affixes des deux antécédents deAparf.
3)Déterminer l’ensembleΓ2des pointsMd’affixeztels que l’affixez′ du pointM′ soit un nombre imaginaire pur.
4)On note Ble point d’affixe−1. On admet que siM6=Ω etM6=B,M′ est distinct de Ω.
On souhaite déterminer l’ensembleΓ3des pointsMdistincts deΩet deBpour lesquels le triangleΩMM′ est rectangle isocèle direct en Ω.
a)Montrer que pour tout pointMdistinct deΩet deB,−−→ ΩM,−−−→
ΩM′
=arg
z′−ω z−ω
[2π].
b) En déduire queMest un point deΓ3si et seulement si z′−ω
z−ω est le nombre complexe de module1 et d’argument π
2.
c) Montrer queMest un point deΓ3si et seulement siz2−iz−1+i=0et z6=1.
d) Montrer quez2−iz−1+i= (z−1)(z+1−i).
e)En déduire l’ensembleΓ3.
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