Pondichéry 2012. Enseignement spécifique

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EXERCICE 4 (5 points) (candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité) Partie A Restitution organisée de connaissances

Soitzun nombre complexe. On rappelle quezest le conjugué dezet que|z|est le module dez. On admet l’égalité|z|²=zz.

Montrer que, siz₁ etz₂sont deux nombres complexes, alors|z₁z₂|=|z₁||z₂|.

Partie B Étude d’une transformation particulière

Dans le plan complexe rapporté au repère orthonormal direct O;−→u;→−v

, on désigne parAetBles points d’affixes respectives1 et−1.

Soitfla transformation du plan qui à tout point Md’affixez6=1, associe le pointM^′ d’affixez^′ tel que :

z^′= 1−z z−1. 1)SoitCle point d’affixez_C= −2+i.

a)Calculer l’affixez_C_′ du point C′ image deCpar la transformationf, et placer les pointsC etC^′ dans le repère donné enannexe.

b) Montrer que le pointC^′ appartient au cercleC de centreOet de rayon1. c) Montrer que les pointsA,CetC^′ sont alignés.

2)Déterminer et représenter sur la figure donnée enannexel’ensemble∆des points du plan qui ont le pointA pour image par la transformationf.

3)Montrer que, pour tout pointMdistinct deA, le pointM^′ appartient au cercleC. 4)Montrer que, pour tout nombre complexez6=1, z^′−1

z−1 est réel.

Que peut-on en déduire pour les pointsA,Met M′?

5)On a placé un point Dsur la figure donnée enannexe. Construire son imageD^′ par la transformationf.

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Annexe à rendre avec la copie

−→u

−→v

O

b D

C