Rochambeau 2016. Enseignement spécifique
EXERCICE 3 : corrigé 1)|1 +i|=√
12+ 12=√ 2puis 1 +i=√
2
1
√2 + 1
√2i
=√ 2
cosπ 4
+isinπ 4
=√
2eiπ4. 2) Graphique.
1 2 3 4 5
−1
−2
−3
−4
−5
−6
−7
−8
1 2 3 4 5
−1
−2
−3
−4
−5
b
b
b b
A B
C
D O
bb
b
b
bb b
M0 M1
M2
M3
M4
M5
M6
Soitnun entier naturel. La plus grande distance du point O à un point du carréABCD est OA= 4. Donc, on est sûr que le pointMn est à l’extérieur du carré siOMn>4.
OMn>4⇔ |zn|>4⇔ |1 +i|n>4⇔√ 2n
>4
⇔ln√ 2n
>ln(4) (par stricte croissance de la fonctionlnsur]0,+∞[)
⇔nln√ 2
>2 ln(2)⇔n
2 ln(2)>2 ln(2)⇔ n
2 >2⇔n >4
⇔n>5.
Donc, l’entiern0= 5convient. On note que, puisqueM4=C,5est la plus petite valeur possible den0.
http ://www.maths-france.fr 1 c Jean-Louis Rouget, 2016. Tous droits réservés.
