Liban 2016. Enseignement spécifique

Liban 2016. Enseignement spécifique

EXERCICE 5 : corrigé 1) a)Soitnun entier naturel.

u_n+1=z_n+1−(4 + 2i) =1

2iz_n+ 5−4−2i= 1

2iz_n−(−1 + 2i) = 1 2i





z_n−

−1 + 2i 1 2i







= 1 2i

z_n−2(−1 + 2i) i

=1 2i

z_n−2(−1 + 2i)(−i) i(−i)

=1

2i(z_n−2(−1 + 2i)(−i))

= 1

2i(z_n−(2i+ 4)) =1 2iu_n.

b)Montrons par récurrence que pour tout tout entier natureln,u_n = 1

2i ⁿ

(−4−2i).

• u₀=z₀−(4 + 2i) =−4−2i= 1

2i ⁰

(−4−2i). L’égalité est donc vraie quandn= 0.

• Soitn>0. Supposons queu_n= 1

2i ⁿ

(−4−2i). Alors

u_n+1= 1

2iu_n(d’après la question a))

= 1 2i×

1 2i

ⁿ

(−4−2i) (par hypothèse de récurrence)

= 1

2i ⁿ⁺¹

(−4−2i).

On a montré par récurrence que pour tout entier natureln,u_n= 1

2i ⁿ

(−4−2i).

2)Soitnun entier naturel. L’affixe du vecteur−−−→ AM_n est

z−−−→

AMn=z_n−z_A=u_n= 1

2i ⁿ

(−4−2i). On en déduit que

z−−−−−→ AMn+4=

1 2i

ⁿ⁺⁴

(−4−2i) = 1

2i ⁴

× 1

2i ⁿ

(−4−2i) = 1 16z−−−→

AMn

.

Par suite,−−−−−→ AM_n+4= 1

16

−−−→

AM_n. Ainsi, les vecteurs−−−→

AM_n et−−−−−→

AM_n+4 sont colinéaires ou encore

les points A,M_n etM_n+4 sont alignés.

http ://www.maths-france.fr 1 c Jean-Louis Rouget, 2016. Tous droits réservés.