• Aucun résultat trouvé

Pondichéry 2014. Enseignement spécifique

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2022

Partager "Pondichéry 2014. Enseignement spécifique"

Copied!
2
0
0

Texte intégral

(1)

Pondichéry 2014. Enseignement spécifique

EXERCICE 3 : corrigé

1) 3 4+

√3 4 i

= v u u t

3 4

2 +

√3 4

!2

= r12

16 = r3

4 =

√3 2 puis 3

4 +

√3 4 i=

√3 2

√3 2 +1

2i

!

=

√3 2

cosπ 6

+isinπ 6

=

√3 2 eiπ/6.

3 4+

√3 4 i=

√3 2 eiπ/6.

2) a)Soitnun entier naturel.

rn+1=|zn+1|=

3 4+

√3 4 i

! zn

= 3 4 +

√3 4 i

× |zn|=

√3 2 rn. Donc la suitern est géométrique de raisonq=

√3 2 . b)On en déduit que pour tout entier natureln,

rn=r0×qn= 1×

√3 2

!n

=

√3 2

!n

.

Pour tout entier natureln, rn=

√3 2

!n

.

c)Pour tout entier natureln,OAn =|zn|=rn=

√3 2

!n

. Puisque−1<

√3

2 <1, on sait que

n→+∞lim OAn = 0.

3) a)Décrivons les différentes étapes.

•Etape 1. R= 1et n= 0.

•Etape 2. On aR > P. Doncn= 1et R=

√3

2 = 0,8. . .

•Etape 3. On aR > P. Doncn= 2et R= 3

4 = 0,75

•Etape 4. On aR > P. Doncn= 3et R= 3√ 3

8 = 0,6. . .

•Etape 5. On aR > P. Doncn= 4et R= 9

16 = 0,56. . .

•Etape 6. On aR > P. Doncn= 5et R= 9√ 3

32 = 0,4. . ..

On a maintenantR6P et donc l’algorithme s’arrête et affiche5.

L’algorithme affiche5.

b)L’algorithme demande la précisionP puis affiche la première valeur denpour laquellern 6P. 4) a)Soitnun entier naturel.

•OAn+1=rn+1 =

√3

2 rn etOAn =rn. Enfin,

An+1An=|zn+1−zn|=

3 4+

√3 4

! zn−zn

=|zn| × 3 4+

√3 4 −1

=

−1 4+

√3 4

rn= v u u t

−1 4

2 +

√3 4

!2 rn=

r 4 16rn =1

2rn.

http ://www.maths-france.fr 1 c Jean-Louis Rouget, 2014. Tous droits réservés.

(2)

Mais alors,

An+1O2+An+1A2n=

√3 2

!2 r2n+

1 2

2 rn2 =

3 4 +1

4

r2n=r2n=OA2n.

D’après la réciproque du théorème dePythagore, le triangleOAnAn+1 est rectangle enAn+1. b)Soitnun entier naturel. Puisquezn=rneinπ/6 et quern>0, un argument de zn estnπ

6. Par suite

An∈(Oy)⇔il existe un entier relatifktel quenπ 6 = π

2 +kπ

⇔il existe un entier relatifktel quen= 3 + 6k

⇔il existe un entier naturelktel quen= 3 + 6k(carnest un entier naturel).

Les entiers naturelsnpour lesquelsAnest un point de l’axe des ordonnées sont les entiers naturels de la forme3 + 6k, k∈N. Ce sont les entiers3,9,15,21. . .

c) Figure.

b b

b

b

b

b

bb b b b

O

A0

A1

A2

A3

A4

A5

A6

A7

A8 A9

http ://www.maths-france.fr 2 c Jean-Louis Rouget, 2014. Tous droits réservés.

Références

Documents relatifs

« Les articles publiés dans cette revue n’engagent que leurs auteurs qui sont seuls responsables du contenu de leurs textes?. La revue se réserve le droit de retirer tout

Description Code indiquant si la personne était sans abri au moment de son admission Valeurs valides 0 = Autre que sans-abri (s’applique aux enregistrements de la BDCP, de la

Vous pouvez utiliser ce paramètre pour faire des découpes à la fin d’une tâche d’impression multiple, d’une page multiple ou de plusieurs tâches individuelles dans la

Là-bas dans cette allée où le brouillard se traîne De son voile entourant les arbres aux troncs nus, Le crépuscule écoute un murmure inconnu ; Et le jardin ressemble à de

Toute l’intervention du Bnetd dans/pour l’agriculture nous met au quotidien en contact avec « les sciences géographiques » tant pour la conception, le conseil que pour le contrôle

• et les crédits en cours. Attention, un loyer versé pour un enfant qui fait des études loin du foyer familial, est considéré comme une charge pérenne. On peut se

Mais il s’est avéré qu’il en savait tellement sur la meilleure manière d’instruire les élèves, qu’il ne s’est pas gêné de reprocher à son directeur qu’il avait tout

Cette édition numérique a été réalisée à partir d’un support physique parfois ancien conservé au sein des collections de la Bibliothèque nationale de France, notamment au titre