Pondichéry 2014. Enseignement spécifique
EXERCICE 3 : corrigé
1) 3 4+
√3 4 i
= v u u t
3 4
2 +
√3 4
!2
= r12
16 = r3
4 =
√3 2 puis 3
4 +
√3 4 i=
√3 2
√3 2 +1
2i
!
=
√3 2
cosπ 6
+isinπ 6
=
√3 2 eiπ/6.
3 4+
√3 4 i=
√3 2 eiπ/6.
2) a)Soitnun entier naturel.
rn+1=|zn+1|=
3 4+
√3 4 i
! zn
= 3 4 +
√3 4 i
× |zn|=
√3 2 rn. Donc la suitern est géométrique de raisonq=
√3 2 . b)On en déduit que pour tout entier natureln,
rn=r0×qn= 1×
√3 2
!n
=
√3 2
!n
.
Pour tout entier natureln, rn=
√3 2
!n
.
c)Pour tout entier natureln,OAn =|zn|=rn=
√3 2
!n
. Puisque−1<
√3
2 <1, on sait que
n→+∞lim OAn = 0.
3) a)Décrivons les différentes étapes.
•Etape 1. R= 1et n= 0.
•Etape 2. On aR > P. Doncn= 1et R=
√3
2 = 0,8. . .
•Etape 3. On aR > P. Doncn= 2et R= 3
4 = 0,75
•Etape 4. On aR > P. Doncn= 3et R= 3√ 3
8 = 0,6. . .
•Etape 5. On aR > P. Doncn= 4et R= 9
16 = 0,56. . .
•Etape 6. On aR > P. Doncn= 5et R= 9√ 3
32 = 0,4. . ..
On a maintenantR6P et donc l’algorithme s’arrête et affiche5.
L’algorithme affiche5.
b)L’algorithme demande la précisionP puis affiche la première valeur denpour laquellern 6P. 4) a)Soitnun entier naturel.
•OAn+1=rn+1 =
√3
2 rn etOAn =rn. Enfin,
An+1An=|zn+1−zn|=
3 4+
√3 4
! zn−zn
=|zn| × 3 4+
√3 4 −1
=
−1 4+
√3 4
rn= v u u t
−1 4
2 +
√3 4
!2 rn=
r 4 16rn =1
2rn.
http ://www.maths-france.fr 1 c Jean-Louis Rouget, 2014. Tous droits réservés.
Mais alors,
An+1O2+An+1A2n=
√3 2
!2 r2n+
1 2
2 rn2 =
3 4 +1
4
r2n=r2n=OA2n.
D’après la réciproque du théorème dePythagore, le triangleOAnAn+1 est rectangle enAn+1. b)Soitnun entier naturel. Puisquezn=rneinπ/6 et quern>0, un argument de zn estnπ
6. Par suite
An∈(Oy)⇔il existe un entier relatifktel quenπ 6 = π
2 +kπ
⇔il existe un entier relatifktel quen= 3 + 6k
⇔il existe un entier naturelktel quen= 3 + 6k(carnest un entier naturel).
Les entiers naturelsnpour lesquelsAnest un point de l’axe des ordonnées sont les entiers naturels de la forme3 + 6k, k∈N. Ce sont les entiers3,9,15,21. . .
c) Figure.
b b
b
b
b
b
bb b b b
O
A0
A1
A2
A3
A4
A5
A6
A7
A8 A9
http ://www.maths-france.fr 2 c Jean-Louis Rouget, 2014. Tous droits réservés.