Asie 2012. Enseignement spécifique

Asie 2012. Enseignement spécifique

France métropolitaine 2012. Enseignement spécifique

EXERCICE 4 : corrigé 1) a) Graphique.

1 2

−1

−2

1 2

−1

−2

bbb

A B

C

b) • zA′ = 1

zA+1 = 1

−1 2 +1

= 1 1/2 =2.

• zB′ = 1

−1 2+i+1

= 1 1 2+i

= 2

1+2i = 2(1−2i)

(1+2i)(1−2i)= 2−4i 1²+2² = 2

5 −4 5i.

• zC′ = 1

−1 2 −1

2i+1

= 1 1 2 −1

2i

= 2

1−i = 2(1+i)

(1−i)(1+i) = 2(1+i)

1²+ (−1)² =1+i.

1 2

−1

−2

1 2

−1

−2

bbb b

b b

A B

C

A^′

B^′

C^′

http ://www.maths-france.fr 1 c Jean-Louis Rouget, 2014. Tous droits réservés.

c) Les points A^′,B^′ et C^′ ont pour coordonnées respectives (2, 0),

2

5,−4 5

et (1, 1). Donc le vecteur −−−→ A^′B^′ a pour coordonnées

−8 5,−4

5

et le vecteur−−−→

A^′C^′ a pour coordonnées(−1, 1).

S’il existe un réelk tel que−−−→

A^′B^′ =k−−−→

A^′C^′, alors−k = −8

5 et aussik= −4

5 ce qui est impossible. Donc les vecteurs

−−−→

A^′B^′ et −−−→

A^′C^′ ne sont pas colinéaires ou encore

les points A^′,B^′ et C^′ ne sont pas alignés.

2) a)SoitMun point deD. Les coordonnées deMsont de la forme

−1 2, y

oùyest un réel.

L’affixe du pointMestzM= −1

2+ypuis l’affixe deM1est zM1=zM+1= −1

2 +iy+1= 1 2+iy.

xM1= 1

2 et doncM1appartient à la droite d’équationx= 1

2. Ainsi, l’image de chaque point deD est un point de la droite d’équationx= 1

2.

Réciproquement, soitM1un point de la droite d’équationx= 1

2. Les coordonnées deM1sont de la forme

1

2, y

où yest un réel.

L’affixe du point M1 est zM1 = 1

2 +iy. Soit M le point d’affixe zM = −1

2 +iy. Puisque xM = −1

2, le point M appartient à la droiteD. D’autre part, l’affixe deg(M)est

zM+1= −1

2 +iy+1= 1

2+iy=zM1, et doncg(M) =M1. Par suite,M1est l’image d’un point deD parg.

Ainsi, tout point de la droite d’équationx= 1

2 est l’image d’un point deD parg.

Finalement,D₁est la droite d’équationx= 1 2.

b) Les points Aet B sont deux points distincts de la droite D et donc D₁ est la droite passant par A1 = g(A) et B1=g(B)ou encore D₁= (A1B1).

1 2

−1

−2

1 2

−1

−2

bbb bbb

A B

C

A1

B1

C1

D D₁

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c)D₁est la droite d’équationx= 1

2. D’autre part, l’ensemble des pointsMd’affixeztelle que|z−1|=|z|est l’ensemble des points Mà égale distance des points O et Ω de coordonnées respectivesO(0, 0)et Ω(1, 0). Cet ensemble est la médiatrice du segment[O, Ω]ou encore la droite d’équationx= 1

2 ou enfin la droiteD₁. 3) a)A1,B1et C1sont distincts deO. Donch(A1),h(B1)et h(C1)existent.

zh(A1)= 1 zA1

= 1

zA+1 =z_A^′ et donch(A1) =A^′. De même,h(B1) =B^′ et h(C1) =C^′. b)Soitzun nombre complexe non nul.

1 z−1

=1⇔

1−z z

=1⇔ |1−z|

|z| =1⇔|1−z|=|z|⇔|− (z−1)|=|z|⇔|z−1|=|z|.

c)SoitM1 un point deD₁dont l’affixe est notéez1.M1est distinct deOet donch(M1)existe.

De plus,|z1−1|=|z1|d’après la question 2)c) et donc

1 z1

−1

=1d’après la question 3)b). 1 z1

est l’affixe deh(M1) et doncΩh(M1) =1 (oùΩ(1, 0)). Ainsi, le pointh(M1)appartient au cercleC de centreΩ(1, 0)et de rayon1.

4)Pour tout point Mde D,f(M) =h(g(M)). L’image de D pargest la droiteD₁et l’image de la droiteD₁ parh est le cercleC privé du pointO. Donc

l’image deD parfest le cercleC privé du pointO.

1 2

−1

−2

1 2

−1

−2

bbb bbb b

b bb

A B

C

A1

B1

C1

A^′

B^′

C^′

Ω

D D₁

C

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