Asie 2010. Enseignement spécifique
EXERCICE 2 : corrigé
PARTIE A. Etude de la configuration 1) a)
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b b
A P
b)|b|= r
22+
−2√ 32
=√
4+12=4 et|c|= r
32+ 3√
32
=√ 36=6.
OB=|b|=4et OC=|c|=6.
c)Best le point du cerlce de centreOet de rayon4dont l’abscisse est égale à2 et l’ordonnée est négative.
Cest le point du cercle de centreOet de rayon6dont l’abscisse est égale à3et l’ordonnée est positive.
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b b
b b
A P
B C
2) •BC=|c−b|= 1+5i√
3 =
r 12+
5√ 32
=√
1+75=√
76=2√ 19.
• BP=|p−b|= 8+2i√
3 =
r 82+
2√ 32
=√
64+12=√
76=2√ 19.
• CP=|p−c|= 7−3i√
3 =
q
72+ (−3√
3)2=√
49+27=√
76=2√ 19.
DoncBC=BP=CP et finalement
Le triangleBCP est équilatéral.
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b b
b b
A P
B C
3)
q=a+eiπ/3(c−a) =a+ cosπ
3
+isinπ 3
(c−a)
= −2+ 1 2 +i
√3 2
!
(3+3i√
3+2) = −2+ 1 2 +i
√3 2
!
5+3i√ 3
= −2+5 2 +i3√
3 2 +i5√
3 2 − 9
2 = −2−4 2 +i8√
3 2
= −4+4i√ 3
Donc
q= −4+4i√ 3.
b)On a encoreq= −2(2−2i√
3) = −2bou aussi−−→
OQ= −2−OB.→ Ainsi, les vecteurs−−→
OQ et−→
OBsont colinéaires et donc
les pointsO,Bet Qsont alignés.
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b b
b b
A P
B C
b
Q
4) a)•Les pointsAetPsont sur l’axe des abscisses de même que le pointO. Donc le pointOappartient à la droite (AP).
• D’après la question précédente, le pointOappartient à la droite(BQ).
• PuisqueRest le symétrique de Cpar rapport à O, le pointOest le milieu du segment[CR]et en particulier, le pointOappartient à la droite(CR).
On a montré que
Les droites(AP),(BQ)et(CR)sont concourantes enO.
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b b
b b
A P
B C
b b
Q
R
b) • AP=|p−a|=12,
• BQ=|q−b|=
−4+4i√ 3
−
2−2i√ 3
=|−6+6i√ 3|=6
r
(−1)2+√ 32
=12,
• CR=2OC=2|c|=12(d’après la question 1)b).
Donc,
AP=BQ=CR=12.
PARTIE B
1)D’après la question 1)b) de la partie A,f(O) =OA+OB+OC=|a|+|b|+|c|=2+4+6=12.
f(O) =12.
2) Soit M un point du plan. Si M = A, alorsN = A et donc AM = MN = 0. Si M 6= A, le triangle AMN est équilatéral et doncAM=MN.
Ensuite, puisqueq=a+eiπ3(c−a)etn=a+eiπ3(m−a),
NQ=|q−n|=
a+eiπ3(c−a)
− a+eiπ3(m−a) =
eiπ3c−eiπ3 =
eiπ3(m−a)
= eiπ/3
×|m−a|=MC.
pour tout pointMdu plan,MA=MNet MC=NQ.
3)SoitMun point du plan. D’après la question précédente et l’inégalité triangulaire,
f(M) =MA+MB+MC=MN+MB+NQ=BM+MN+NQ
>BQ=12(d’après la question A.4)b).)
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Pour tout pointMdu plan,f(M)>12.
