Liban 2014. Enseignement spécifique
EXERCICE 4 : corrigé Partie A
1)u0=|z0|=
√3−i =
r √
32
+ (−1)2=2.
u0=2.
2)Soitnun entier naturel.
un+1=|zn+1|=|1+i|×|zn|=p
12+12un =√ 2 un. Donc
la suite(un)n∈N est la suite géométrique de premier termeu0=2 et de raisonq=√ 2.
3)On en déduit que pour tout entier natureln,un=u0×qn=2√ 2n
. Pour tout entier natureln,un=2√
2n
.
4)Puisque√
2 > 1, on sait que lim
n→+∞
√ 2n
= +∞. Puisque2 > 0, on a alors lim
n→+∞un = lim
n→+∞2√ 2n
= +∞.
n→+∞lim un = +∞.
5) Algorithme complété.
Variables : uest un réel pest un réel nest un entier
Initialisation : Affecter ànla valeur0 Affecter àula valeur2 Demander la valeur dep Traitement : Tant que u6p
Affecter àula valeur√ 2×u Affecter ànla valeurn+1 Fin de Tant que
Sortie : Afficher la variable n
Partie B
1)z1= (1+i)√ 3−i
=√
3−i+i√
3+1=√ 3+1
+i√ 3−1
. z1=√
3+1 +i√
3−1 .
2)|z0|=u0=2puis
z0=2
√3 2 −1
2i
!
=2 cos
−π 6
+isin
−π 6
=2e−iπ/6.
De même,
1+i=√ 2
1
√2 + 1
√2i
=√ 2
cosπ 4
+isinπ 4
=√ 2eiπ/4.
Par suite,z1= (1+i)z0=√
2eiπ/4×2e−iπ/6=2√
2ei(π4−π6) =2√ 2ei12π.
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z1=2√ 2ei12π. 3)Des deux questions précédentes, on déduit
2√
2cosπ 12
+2√
2sinπ 12
i=√
3+1 +i√
3−1 . En identifiant les parties réelles, on obtient2√
2cosπ 12
=√
3+1 ou encore
cosπ 12
=
√3+1 2√
2 =
√6+√ 2
4 .
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