Antilles Guyane 2015. Enseignement spécifique

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Antilles Guyane 2015. Enseignement spécifique

EXERCICE 3 : corrigé Partie A

1)Le point|z^R|=|z^M|=|z|et arg(z^R) = 0 [2π]. Par suite,x^R=|z| ×cos(0) =|z|ety^R=|z| ×sin(0) = 0. Le point Ra pour coordonnées(|z|,0).

2)On construit d’abordM1 le milieu du segment[M R].M^′ est alors le milieu du segment[OM1].

b

b bM

R O −→u

−

→v

b

M1

M^′

Partie B

1) Soitz0 un réel négatif. Alors,|z0|=−z0 puis z1= z0+|z0|

4 = 0. Montrons par récurrence que pour tout n>1, zⁿ= 0.

• L’égalité est vraie quandn= 1.

• Soitn>1. Supposons quezⁿ = 0. Alors,zn+1= zn+|zⁿ| 4 = 0.

On a montré par récurrence que pour tout entier natureln>1,zn= 0.

En particulier, la suite(zⁿ)n∈Nconverge et dimn+∞zⁿ= 0.

2)Soitz0un réel positif. Montrons par récurrence que pour toutn>0,zn est un réel positif.

• L’affirmation est vraie quandn= 0.

• Soitn>0. Supposons quezn soit un réel positif. Alorszn+1= zn+|zn|

4 est un réel positif.

On a montré par récurrence que pour tout entier natureln>0,zⁿ est un réel positif.

Puisque pourn>0,zⁿ est un réel positif, pour toutn>0, on a zn+1=zn+zn

4 =zn

2 . La suite(zn)n∈N est donc la suite géométrique de premier termez0et de raison 1

2. On en déduit que pour tout entier natureln,zn=z0

1

2 ⁿ

.

Puisque−1< 1

2 <1, on en déduit que la suite(zⁿ)n∈Nconverge et dimn+∞zⁿ= 0.

3) a)Il semble que la suite(|zⁿ|)n∈Nconverge et quedimn+∞ |zⁿ|= 0.

b)Soitn>0.

|zn+1|=1

4|zn+|zn||6 1

4(|zn|+||zn||) =1

4(|zn|+|zn|) =|zn| 2 . Montrons par récurrence que pour toutn>0,|zⁿ|6|z0|

2ⁿ .

• Puisque |z0|

2⁰ =|z0|, l’inégalité est vraie quandn= 0.

(2)

• Soitn>0. Supposons que|zⁿ|6|z0|

2ⁿ . Alors|zⁿ+1|6 |zⁿ| 2 6 1

2 ×|z0| 2ⁿ = |z0|

2ⁿ⁺¹. On a montré par récurrence que pour tout entier natureln>0,06|zⁿ|6|z0|

2ⁿ . Puisque lim

n→+∞

|z0|

2ⁿ = 0, le théorème des gendarmes permet d’affirmer que lim

n→+∞|zn|= 0.