Pondichéry 2013. Enseignement spécifique
EXERCICE 3 : corrigé
1) a)ZM=2e−iπ3 =2 cos
−π 3
+isin
−π 3
=2 1 2 −i
√3 2
!
=1−i√ 3.
ZM=1−i√ 3.
b)ZM′ = −iZM= −i 1−i√
3
= −√ 3−i.
ZM′ = −√ 3−i.
|ZM′|=
−√
3−i =
r −√
32
+ (−1)2=√
3+1=√
4=2puis
ZM′ =2 −
√3 2 −i1
2
!
=2
cos
−5π 6
+isin
−5π 6
=2e−5iπ/6.
Le module deZM′ est2 et un argument deZM′ est −5π 6 .
c)La droite(OI)semble être perpendiculaire à la droite(BM′)et la distanceBM′semble être le double de la distance OI.
bbb
b
b
→−u
−→v B
A
I
M M′
O
2)On poseZM=x+iyavecxetyréels tels quey6=0.
a)zI= 1
2(zA+zM) = 1
2(1+x+iy) = 1+x 2 +iy
2.
ZI= 1+x 2 +iy
2. b)zM′ = −izM= −i(x+iy) =y−ix.
http ://www.maths-france.fr 1 c Jean-Louis Rouget, 2014. Tous droits réservés.
ZM′ =y−ix.
c)Les coordonnées des pointsI,BetM′ sont respectivement
1+x 2 ,y
2
,(0, 1)et(y,−x).
d)Les coordonnées du vecteur−→ OIsont
1+x 2 ,y
2
et les coordonnées du vecteur−−−→
BM′ sont(y,−x−1). Par suite,
−→ OI.−−−→
BM′= 1+x
2 ×y+y
2 ×(−x−1) = (1+x)y−y(1+x)
2 =0.
Donc, la droite(OI)est perpendiculaire à la droite(BM′)ou encore
la droite(OI)est la hauteur issue deOdu triangleOBM′.
e)BM′2=
−−−→ BM′
2
=y2+ (−x−1)2=y2+ (−(x+1))2= (x+1)2+y2. OI2=
−→ OI
2
= 1
4 (x+1)2+y2 . Donc,BM′2=4OI2et finalement
BM′=2OI.
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