Rochambeau 2010. Enseignement spécifique

(1)

Rochambeau 2010. Enseignement spécifique

EXERCICE 3

1)D’après le résultat admis par l’énoncé,

zE=zA+eⁱ^π³(zD−zA) =zA+ cosπ

3

+isinπ 3

(zD−zA)

=i+ 1 2 +i

√3 2

!

(1−i) =i+ 1 2− i

2+i

√3 2 +

√3 2

= 1 2 +

√3 2

! +i 1

2 +

√3 2

!

= 1 2+

√3 2

! (1+i).

zE= 1 2 +

√3 2

! (1+i).

2)zD′ = 2zD−i

izD+1 = 2−i

i+1 = (2−i)(1−i)

(1+i)(1−i) = 2−2i−i−1

1²+1² = 1−3i 2 . zD′ = 1−3i

2 . 3) a)Soitzun nombre complexe différent dei.

(z^′+2i)(z−i) =

2z−i iz+1 +2i

(z−i) = 2z−i−2z+2i

iz+1 (z−i) = i(z−i)

iz+1 = iz+1 iz+1 =1.

Pour toutz6=i,(z^′+2i)(z−i) =1.

b)Soientzun nombre complexe différent dei puisMle point d’affixez.

BM^′×AM=|z^′−zB|×|z−zA|=|z^′+2i|×|z−i|=|(z^′+2i)(z−i)|=|1|=1 puis il existe un entier relatifktel que

−→u ,−−−→ BM^′

=arg z−−−→

BM^′

+2kπ=arg(z^′+2i) +2kπ=arg 1

z−i

+2kπ= −arg(z−i) +2kπ

= −arg z−AM−→

+2kπ= −−→u ,−−→ AM

+2kπ.

Pour toutM6=A,BM^′×AM=1et −→u ,−−−→ BM^′

= −−→u ,−−→ AM

+2kπ,k∈Z.

4. a)Puisque le triangleADEest équilatéral,

AE=AD=|zD−zA|=|1−i|=p

1²+ (−1)²=√ 2.

Les pointsDet Esont sur le cercle de centreAet de rayon√ 2.

b)BE^′×AE=1et doncBE^′ = 1 AE = 1

√2. Le pointE^′ est sur le cercle de centreBet de rayon 1

√2. Ensuite,−→u ,−−→

BE^′

= −−→u ,−→ AE

+2kπ, k∈Z. On en déduit une construction du pointE^′ :

(2)

1 2

−1

−2

−3

1 2

−1

−2

bb b b

b b

A

B

D E

D^′

E^′

5)D’après la question 4),BD^′= 1 AD = 1

AE =BE^′ et

−−→ BD^′,−−→

BE^′

=−→u ,−−→ BE^′

−→−u ,−−→ BD^′

= −−→u ,−→ AE

+−→u ,−−→ AD

= −−−→ AD,−→

AE

= −π

3 +2kπ, k∈Z.

Par suite,

le triangleBD^′E^′ est équilatéral indirect.

(3)

1 2

−1

−2

−3

1 2

−1

−2

bb b b

b b

A

B

D E

D^′

E^′