Asie 2012. Enseignement spécifique
France métropolitaine 2012. Enseignement spécifique
EXERCICE 4 (5 points) (candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité) Le plan complexe est muni d’un repère orthonormé direct O; −→
u; −→ v
.
On appellefl’application qui à tout pointMd’affixez différente de−1, fait correspondre le pointM′ d’affixe 1
z+1.
Le but de l’exercice est de déterminer l’image parfde la droiteD d’équationx= −1 2. 1)Soient A,BetCles points d’affixes respectiveszA= −1
2, zB= −1
2 +i etzC= −1 2− 1
2i.
a)Placer les trois pointsA,Bet Csur une figure que l’on fera sur la copie en prenant2 cm pour unité graphique.
b)Calculer les affixes des pointsA′=f(A),B′ =f(B)etC′ =f(C)et placer les pointsA′,B′ etC′ sur la figure.
c)Démontrer que les points A′,B′ et C′ ne sont pas alignés.
2)Soitg la transformation du plan qui, à tout pointMd’affixez, fait correspondre le pointM1d’affixez+1.
a)SoitD1 l’ensemble des images des points de la droiteD parg. Montrer queD1est la droite d’équation x= 1
2.
b)Placer les points A1,B1 etC1, images respectives parg deA,Bet Cet tracer la droiteD1. c)Démontrer queD1est l’ensemble des pointsMd’affixeztelle que |z−1|=|z|.
3)Soithl’application qui, à tout pointMd’affixeznon nulle, associe le pointM2d’affixe 1 z. a)Justifier que h(A1) =A′, h(B1) =B′ eth(C1) =C′.
b)Démontrer que, pour tout nombre complexe non nulz, on a :
1 z−1
=1⇐⇒|z−1|=|z|.
c)En déduire que l’image parhle la droiteD1 est incluse dans un cercleC dont on précisera le centre et le rayon. Tracer ce cercle sur la figure.
On admet que l’image par hde la droiteD1est le cercleC privé de O.
4)Déterminer l’image par l’application fde la droiteD.
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