Exercice 1 - - L1/Math Sup - ?

Exercices - Nombres complexes ^{: ´ enonc´ e}

Formes alg´ ebriques et trigonom´ etriques, module et argument

Exercice 1 - - L1/Math Sup - ?

Mettre sous forme alg´ ebrique, puis trigonom´ etrique le nombre complexe Z = −4 1 + i √

3 . Calculer Z

.

Exercice 2 - - L1/Math Sup - ?

Soit z = e

avec θ ∈]0, π[. D´ eterminer le module et un argument de 1 + z et de 1 + z + z

. Exercice 3 - - L1/Math Sup - ?

Donner la partie r´ eelle et la partie imaginaire du nombre complexe suivant : 1 + i √

3 1 − i

!

.

Exercice 4 - - L1/Math Sup - ?

Trouver les entiers n ∈ N tels que (1 + i √

3)

soit un r´ eel positif.

Exercice 5 - - L1/Math Sup - ?

Soient z et z

deux nombres complexes de module 1 tels que zz

6= −1. D´ emontrer que

est r´ eel, et pr´ eciser son module.

Exercice 6 - - L1/Math Sup - ?

Soit z ∈ C . Montrer que |z − i| = |z + i| si et seulement si z est r´ eel.

Exercice 7 - - L1/Math Sup - ?

D´ eterminer les nombres complexes non nuls z tels que z,

et 1 − z aient le mˆ eme module.

Exercice 8 - Automorphisme du disque - L1/Math Sup - ??

Soit a un complexe de module |a| < 1.

1. D´ emontrer que, pour tout nombre complexe z 1 −

z − a 1 − ¯ az

2

= (1 − |a|

)(1 − |z|

)

|1 − ¯ az|

. 2. D´ eterminer les nombres complexes z v´ erifiant

z − a 1 − ¯ az

≤ 1.

Exercice 9 - Homographie - L1/Math Sup - ??

Soit z un nombre complexe, z 6= 1. D´ emontrer que :

|z| = 1 ⇐⇒ 1 + z 1 − z ∈ i R .

Exercice 10 - Somme et diff´ erence - L1/Math Sup - ??

Soient z = ρe

et z

= ρ

e

deux nombres complexes non nuls. D´ emontrer que

|z + z

| = |z − z

| ⇐⇒ θ

= θ + π 2 [π].

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Exercices - Nombres complexes ^{: ´ enonc´ e}

Exercice 11 - ´ Egalit´ e dans l’in´ egalit´ e triangulaire - L1/Math Sup - ???

Soient z

, . . . , z

des nombres complexes tous non nuls. Donner une condition n´ ecessaire et suffisante pour que

|z

+ · · · + z

| = |z

| + · · · + |z

|.

Equations et racines n-i` emes

Exercice 12 - Exponentielle - L1/Math Sup - ? R´ esoudre l’´ equation e

= 3 √

3 − 3i.

Exercice 13 - Racine carr´ ee d’un nombre complexe - L1/Math Sup - ?

Calculer les racines carr´ ees des nombres complexes suivants : z

= 3 + 4i, z

= 8 − 6i.

Exercice 14 - Racine carr´ e de deux fa¸ cons - L1/Math Sup - ? D´ eterminer les racines carr´ ees de Z = √

3 + i sous forme alg´ ebrique, puis sous forme trigo- nom´ etrique. En d´ eduire la valeur de cos

.

Exercice 15 - ´ Equations du second degr´ e - L1/Math Sup - ? R´ esoudre les ´ equations du second degr´ e suivantes :

1. z

− 2iz − 1 + 2i = 0 2. iz

+ (4i − 3)z + i − 5 = 0 3. z

− (7 + i)z + 12 + 3i = 0.

Exercice 16 - Racines n-i` emes - L1/Math Sup - ? R´ esoudre les ´ equations suivantes :

1. z

= −i 2. z

=

1+i√ 3

3. z

=

√ 3)⁴ (1+i)²

.

Exercice 17 - Qui se ram` enent aux puissances... - L1/Math Sup - ??

R´ esoudre les ´ equations suivantes :

1. (z − 1)

= (z + 1)

2. z

= ¯ z (n ≥ 2)

3.

+

= 0 4. z

− z

+ z

− z + 1 = 0 5. 1 + 2z + · · · + 2z

+ z

= 0 6.(z + i)

= (z − i)

.

Exercice 18 - Degr´ e plus grand ! - L1/Math Sup - ??

R´ esoudre les ´ equations suivantes : 1. iz

+ iz

+ 1 + i = 0 ;

2. 4iz

+ 2(1 + 3i)z

− (5 + 4i)z + 3(1 − 7i) = 0, sachant qu’elle admet une racine r´ eelle.

Exercice 19 - Somme et puissances de racines n-iemes - L1/Math Sup - ???

Soit n ≥ 1 et ω = e

.

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Exercices - Nombres complexes ^{: ´ enonc´ e}

1. Calculer le produit des racines n-i` emes de l’unit´ e.

2. Soit p ≥ 0. Calculer ^P

ω

. 3. En d´ eduire que ^P

(1 + ω

)

= 2n.

Application au calcul de sommes et ` a la trigonom´ etrie

Exercice 20 - Lin´ eariser - L1/Math Sup - ? Lin´ eariser cos

x, sin

x et cos

x sin

x.

Exercice 21 - Sommes trigonom´ etriques - L1/Math Sup - ??

Soit n ∈ N

et x, y ∈ R . Calculer les sommes suivantes : 1.

n

X

k=0

n k

!

cos(x + ky) ;

2. S =

n

X

k=0

cos(kx)

(cos x)

et T =

n

X

k=0

sin(kx)

(cos x)

, avec x 6=

+ kπ, k ∈ Z ; 3. D

=

n

X

k=−n

e

et K

=

n

X

k=0

D

, avec x 6= 0 + 2kπ, k ∈ Z.

Exercice 22 - Somme de modules - L1/Math Sup - ??

Soit n ∈ N

; on note U

l’ensemble des racines n-i` emes de l’unit´ e. Calculer ^P

|z − 1|.

Exercice 23 - Calcul d’un cosinus - L1/Math Sup - ??

A partir de la somme des racines 5−i` emes de l’unit´ e, calculer cos(2π/5).

Exercice 24 - Un calcul d’int´ egrale - L1/Math Sup - ??

Calculer ^R

cos

t sin

t.

Nombres complexes et g´ eom´ etrie

Exercice 25 - Similitude - L1/Math Sup - ?

D´ eterminer la nature et les ´ el´ ements caract´ eristiques de l’application qui ` a tout M d’affixe z associe le point d’affixe (1 + i √

3)z + √

3(1 − i).

Exercice 26 - Lieux g´ eom´ etriques - L1/Math Sup - ??

On se propose de d´ eterminer les points M d’affixe z du plan dans les cas suivants : 1. |(1 + i)z − 2i| = 2 ;

2. I(i) et M

(iz) sont align´ es avec M ; d´ eterminer alors l’ensemble des points M

correspon- dants ;

3. <e

z − 1 z − i

= 0 ;

4. M , P d’affixe z

et Q d’affixe z

sont les sommets d’un triangle ´ equilat´ eral.

Exercice 27 - Points ` a coordonn´ ees enti` eres - L1/Math Sup - ??

Soit ABCD un carr´ e dans le plan complexe. Prouver que, si A et B sont ` a coordonn´ ees

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Exercices - Nombres complexes ^{: ´ enonc´ e}

enti` eres, il en est de mˆ eme de C et D. Peut-on trouver un triangle ´ equilat´ eral dont les trois sommets sont ` a coordonn´ ees enti` eres ?

Exercice 28 - Triangle ´ equilat´ eral - L1/Math Sup - ??

Soient A, B et C trois points non align´ es d’affixe a, b et c. On note j = e

.

1. Montrer que le triangle ABC est ´ equilat´ eral direct si et seulement si a + bj + cj

= 0.

2. On consid` ere les trois triangles ´ equilat´ eraux de base AB, AC et BC construits ` a l’ext´ erieur du premier. Montrer que les centres de gravit´ e de ces trois triangles forme un triangle

´ equilat´ eral.

Exercice 29 - Triangle ´ equilat´ eral - L1/Math Sup - ??

Montrer que le triangle de sommets M

(z

), M

(z

) et M

(z

) est ´ equilat´ eral si et seulement si

z

+ z

+ z

= z

z

+ z

z

+ z

z

.

Exercice 30 - A partir des racines n-i` emes - L1/Math Sup - ??

Soit a un nombre complexe de module 1, z

, . . . , z

les racines de l’´ equation z

= a. Montrer que les points du plan complexe dont les affixes sont (1 + z

)

, . . . , (1 + z

)

sont align´ es.

Exercice 31 - Alignement de puissances - L1/Math Sup - ???

Trouver tous les nombres complexes z tels que z, z

et z

soient align´ es.

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