MODIA — 1`ere Ann´ee EDO
2020–2021 TD 1
TD 1 – EDO
Exercice 1. On consid`ere l’´equation diff´erentielle (IV P)
x˙1(t) =x1(t) +x2(t) + sint x˙2(t) =−x1(t) + 3x2(t)
x1(0) =−9/25, x2(0) =−4/25.
1.1. Ecrite la fonction´ f permettant d’´ecrire le syst`eme diff´erentiel ˙x(t) =f(t, x(t)).
1.2. Ecrire´ f(s, y) =Ay+b(s). On donneraA, matrice (2,2) et la fonctionb.
Exercice 2 (Mod`ele de Lorenz (effet papillon)). On consid`ere l’´equation diff´erentielle
(IV P)
x˙1(t) =−σx1(t) +σx2(t)
x˙2(t) =−x1(t)x3(t) +rx1(t)−x2(t) x˙3(t) =x1(t)x2(t)−bx3(t)
x1(0) =−8, x2(0) = 8, x3(0) =r−1, avec σ= 10, r= 28, b= 8/3.
2.1. Ecrite la fonction´ f permettant d’´ecrire le syst`eme diff´erentiel ˙x(t) =f(t, x(t)).
2.2. Peut-on ´ecrire ici f(s, y) =Ay,Amatrice constante ?
Exercice 3 (exemple de Roberston). On consid`ere la r´eaction chimique A −→0.04 B (lente),
B+B 3.10−→7 C+B (tr`es rapide), B+C −→104 A+C (rapide).
Le syst`eme diff´erentiel associ´e `a cette r´eaction chimique est donn´ee par
(IV P)
x˙1(t) = −0.04x1(t) + 104x2(t)x3(t)
x˙2(t) = 0.04x1(t)−104x2(t)x3(t) −3.107x22(t)
x˙3(t) = 3.107x22(t)
x1(0) = 1, x2(0) = 0, x3(0) = 0,
3.1. Ecrite la fonction´ f permettant d’´ecrire le syst`eme diff´erentiel ˙x(t) =f(t, x(t)).
3.2. Peut-on ´ecrire ici f(s, y) =Ay,Amatrice constante ? Exercice 4. V´erifiez que la fonction
ϕ: R −→ R2 t 7−→
Ç−251(13 sint+ 9 cost)
−251(3 sint+ 4 cost) å
est solution du syst`eme diff´erentiel `a condition initiale de l’exercice??.
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EDO TD 1 – EDO
Exercice 5. On consid`ere le probl`eme de Cauchy d´efinie sur Ω =R×R (IV P)
® x(t) =˙ −x2(t) x(t0) =x0, o`u (t0, x0) est fix´e. V´erifiez que l’on a les solutions :
— Si x0 = 0,
ϕ: I =]− ∞,+∞[ −→ R
t 7−→ ϕ(t) = 0
— Si x0 >0,
ϕ: I =]t0−1/x0,+∞[ −→ R
t 7−→ ϕ(t) = (t−tx0
0)x0+1;
— Si x0 <0,
ϕ: I =]− ∞, t0−1/x0[ −→ R
t 7−→ ϕ(t) = (t−tx0
0)x0+1. Ces r´esultats sont visualis´es sur les figures?? et??.
−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5
−2
−1.5
−1
−0.5 0 0.5 1 1.5 2
t x0
Figure 1 – Visualisation de l’ensemble ]ω−(0, x0), ω+(0, x0)[×x0 pour l’exemple x(t) =˙
−x2(t), x(0) =x0.
Exercice 6. Cet exercice a pour but de bien comprendre la d´efinition de l’application T dans la d´emonstration du th´eor`eme de Cauchy-Lipschitz. On consid`ere pour cela le cas lin´eaire, sans terme constant et autonˆome :
(IV P)
® x(t) =˙ Ax(t) x(t0) =x0.
Donner les premiers it´er´esx(k+1) =T(x(k)) en partant dex(0)(t) =x0 pour toutt.
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−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5
−2
−1.5
−1
−0.5 0 0.5 1 1.5 2
t
x(t)
Figure 2 – Solutions pour le probl`eme x(t) =˙ −x2(t), x(t0) = x0, les courbes int´egrales ne peuvent se couper, elles forment une partition de l’ouvert Ω =R2.
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