Existence de solution, condition n´ ecessaire

ENSAT — 1`ere Ann´ee Optimisation

2006–2007 TD 3

TD 3 – Optimisation

Existence de solution, condition n´ ecessaire

Exercice 1. On consid`ere le probl`eme suivant : (P)

M in f(x) =x²−1 x∈]0,1]

1.1. (P) a-t-il une solution ?

1.2. Quelle hypoth`ese du th´eor`eme d’existence de solution n’est pas v´erifi´ee ? Exercice 2. On consid`ere le probl`eme suivant :

(P)

M in f(x) =x²₁−x²₂ x∈R²

2.1. Donner la condition n´ecessaire de solution du premier ordre 2.2. La condition n´ecessaire du deuxi`eme ordre est-elle v´erifi´ee ? 2.3. (P) a-t-il une solution ?

Exercice 3. On consid`ere le probl`eme suivant : (P)

M in f(x) =x⁴₁+x⁴₂+ 3x1x2

x∈R²

3.1. Donner la condition n´ecessaire de solution du premier ordre

3.2. La condition n´ecessaire et la condition suffisante du deuxi`eme ordre sont-elles v´erifi´ees ? 3.3. (P) a-t-il une solution ?

(i) On consid`ere le probl`eme d’optimisation suivant (P_θ)

M in g(θ) = cos⁴θ+ sin⁴θ θ∈[0,2π]

D´emontrer que (P_θ) a une solution θ^∗ et que g(θ^∗) =k >0.

(ii) On pose

x= x₁

x₂

x=

ρcosθ ρsinθ

Montrer quef(x)≥kρ⁴+ 3ρ²cosθsinθ.

(iii) Conclure sur l’existence de solution du probl`eme (P).

Exercice 4. On consid`ere le probl`eme suivant : (P)

M in f(x) =x⁴₁+x²₂+x⁴₃ x∈R³

4.1. Donner la condition n´ecessaire de solution du premier ordre

4.2. La condition n´ecessaire et la condition suffisante du deuxi`eme ordre sont-elles v´erifi´ees ? 1

Optimisation TD 3 – Existence de solution, condition n´ecessaire

4.3. (P) a-t-il une solution ?

Exercice 5. On consid`ere le probl`eme suivant : (P)

M in;f(x) =x³₁+x²₂+x⁴₃ x∈R³

5.1. Donner la condition n´ecessaire de solution du premier ordre

5.2. La condition n´ecessaire et la condition suffisante du deuxi`eme ordre sont-elles v´erifi´ees ? 5.3. (P) a-t-il une solution ?

5.4. Existe-t-il un minimum local

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