TS Les suites (1) Vocabulaire usuel des suites Rappels de 1ère et compléments

(1)

Revoir le cours de 1^ère. I. Généralités 1°) Définition

Une suite numérique est une fonction :u  nu_n

terme d’indice n 2°) Notation

 

_{n n}

u u

 _ (les parenthèses sont obligatoires)

Quand il n’y a pas de parenthèses, c’est pour définir le nombre.

Quand il y a des parenthèses, c’est pour définir la fonction.

Exemple : quand on dit « la suite

 

un est croissante », on met des parenthèses.

3°) Différentes façons de définir une suite Il y en a trois principales.

 1^ère façon : formule explicite donnant le terme général en fonction de n.

Exemple : 1

n 1 u n



 2^e façon : par son premier terme et une relation de récurrence (c’est-à-dire une relation liant deux termes consécutifs)

(Nouvelle définition par rapport aux fonctions)

Exemple :

 

0

2 1

1

2 3

n n

u

u _ u





  



 3^e façon : par compréhension

Exemple : u_nnième décimale de 



ⁿ^¹



3,1415926...

 

TS

Les suites (1)

Vocabulaire usuel des suites Rappels de 1

^ère

et compléments

1 1

u 

2 4

u 

3 1

u 

II. Ensemble de définition d’une suite 1°) Remarque générale

Une suite peut être définie sur  ou seulement sur une partie de .

Déterminer l’ensemble de définition d’une suite définie par une formule explicite est en général facile.

En revanche, c’est souvent plus difficile dans le cas d’une suite définie par récurrence et nous n’avons pas encore tous les outils (raisonnement par récurrence).

2°) Exemples de suites définies par une formule explicite

➀ La suite u telle que 1

n 1 u n

 est définie sur .

➁ La suite u telle que 1 un

n est définie sur ^* ou à partir de l’indice 1.

➂ La suite u telle que u_n n2 est définie à partir de l’indice 2.

3°) Exemples de suites définies par récurrence

➀

 

0

2 1

1

2 3

n n

u

u_ u

 



 



La suite u est définie de manière évidente sur  (pas de problème de définition).

➁ ⁰

1

n n 3

u

u_ u

 



 



La suite u est définie sur  mais ce n’est pas aussi évident que dans le 1^er exemple.

On peut faire un raisonnement de proche en proche (qui plus tard sera remplacé par un raisonnement par récurrence).

relation de récurrence

compréhension formule

explicite

suites

(2)

3

➂

0

1

3 2 1

n 1

n

u u^ u

  





 

 



1 2

u   ; u₂ 1

On ne peut pas calculer u₃.

La suite n’est pas définie à partir de l’indice 3 (suite finie).

Lorsque qu’une suite u est définie par son premier terme u₀ et une relation de récurrence du type

1

 

n n

u_ f u où f est une fonction numérique, il peut y avoir un problème de définition suivant la valeur de u0 et l’ensemble de définition de f.

4°) Propriété d’existence d’une suite définie par récurrence (admise sans démonstration)

f est une fonction numérique définie sur une partie D de  telle que ^{f D}

 

^^D (on dit que D est stable par f).

Pour tout réel aD, la suite u définie par son premier terme u₀a et la relation de récurrence un_1f u

 

n

est définie sur .

III. Représentations graphiques

1°) Représentation graphique sur un axe gradué

u₀ u₂ u₁ u₅ u₆ u ₄

0 1 x

(droite réelle) 2°) Représentation graphique dans un repère du plan

termes

O ⁱ^ n

j

indices La suite u est représentée par des points isolés (« nuage de points »).

4 3°) Lecture graphique des termes d’une suite récurrente d’ordre 1

On trace la courbe Cf d’équation ^y^{f x}

 

et la droite  d’équation yx (« 1^ère bissectrice » du repère lorsque le repère est orthonormé).

Recette :

On place u₀ sur l’axe des abscisses.

On monteu₀ jusqu’à Cf.

On obtient u₁ en ordonnée car ^u₁^{f u}

 

₀ . On rallonge jusqu’à .

On redescend en abscisse ; on obtient la valeur de u₁. On recommence avec u₁ et ainsi de suite.

Il s’agit d’une construction des termes d’une suite récurrente sans calcul.

Suivant les cas, on obtient une construction en « marche d’escalier » ou « en spirale » («en escargot »).

IV. Sens de variation d’une suite 1°) Définitions

u est une suite.

On dit que u est croissante pour exprimer que :  n  u_nu_n_₁.

On dit que u est strictement croissante pour exprimer que :  n u_nu_n_₁. On dit que u est décroissante pour exprimer que :  n u_nu_n_₁.

On dit que u est strictement décroissante pour exprimer que :  n u_nu_n_₁. On dit que u est constante pour exprimer que :  n  u_nu_n_₁.

On dit que u est stationnaire à partir de l’indice n₀pour exprimer que :  n n₀ u_nu_n_₁. On dit que u est monotone pour exprimer qu’elle est soit croissante soit décroissante.

On dit que u est strictement monotone pour exprimer qu’elle est soit strictement croissante soit strictement décroissante.

 

0

1

donné

pour tout _n _n

u

n u_ f u



  

 

O _i^ j

 : yx

Cf

(3)

2°) N.B.

 On observera que les définitions d’une suite croissante, décroissante etc. font appel à des phrases quantifiées.

 Une suite peut être monotone à partir d’un certain indice.

3°) Méthodes d’étude du sens de variation d’une suite

Principe Commentaires

Méthode par comparaison directe

On compare u_net u_n_₁ en utilisant les théorèmes de rangement.

Utilisation assez limitée ; pour les suites définies par une formule explicite simple.

Méthode par différence On étudie le signe de la différence

1

n n

u_ u .

Méthode par quotient Lorsque tous les termes sont strictement positifs, on peut comparer ⁿ¹

n

u u

 à 1.

Si  n ⁿ¹ 1

n

u u

  , alors u est croissante.

Si  n  ⁿ¹ 1

n

u u

  , alors u est décroissante.

Il faut d’abord vérifier que tous les termes sont de signe positif.

Méthode par étude de fonction

Lorsque unf n

 

où f est une fonction définie sur ⁺, on peut étudier le sens de variation de f sur ⁺ et en déduire celui de u.

- Il faut connaître la fonction (fonction associée à la suite)

- Pas pour les suites définies par récurrence (voir remarque dans le 5°))

Méthode pour les suites arithmétiques et les suites géométriques

On peut utiliser les règles particulières qui sont données dans le paragraphe suivant (par rapport à la raison).

Méthode par récurrence On pose ^{P n}

 

^{: «}^u_n^u_n_₁ » ou ^{P n}

 

^{: «}unun_1 »

- Voir plus tard le chapitre sur le raisonnement par récurrence.

- Pratique pour les suites définies par récurrence.

4°) Bêtises à ne pas faire

 Pas de tableau de variation pour les suites

 Ne pas dire «

 

un croissante sur  » mais «

 

un croissante à partir de l’indice 0 ».

 Pas de dérivée de suite



 

0 1

donné

n n

u u_ f u



 



Le sens de variation de f ne donne pas celui de

 

u_n .

f croissante  u croissante f décroissante  u décroissante V. Suites arithmétiques et géométriques

1°) Tableau de formules

Suites arithmétiques Suites géométriques

Relation de récurrence



^u_n₁^{/ u}_n



1

n n

u_ u r

raison arithmétique (nombre fixé)

1

n n

u_ u q

raison géométrique (nombre fixé)

Relation entre deux termes quelconques d’indices n et p

 

n p

u u  np r

(en particulier pour p0et p1

0

unu  n r

 

1 1

unu  n r)

n p

n p

u u q^

0 n

unu q

1 1

n

unu q^ Sommes de

termes consécutifs Formules sommatoires

Somme des termes

 

1er dernier nombre de termes

2

  

(nombre de termes moyenne des termes extrêmes)

Somme des termes

nombre de termes

er 1

1 terme 1 q

q

  





q1



Sens de variation (monotonie)

Une suite arithmétique est toujours monotone.

0

r suite strictement croissante 0

r suite strictement décroissante 0

r suite constante

0

0 1 suite strictement décroissante 0 1 suite strictement croissante

0 suite non monotone q

u q

q

 



  

 

0

0 1 suite strictement croissante 0 1 suite strictement décroissante

0 suite non monotone q

u q

q

 



  

 

(contraire dans les deux premiers cas)

Une suite géométrique de 1^er terme différent de 0 est monotone si et seulement si q0.

(4)

7 2°) Complément : nombre de termes d’une somme

 

1 1 termes

p p ... n

n p

u u _ u

 

  



Exemples :

3 4 20

20 3 1 18 termes

...

u u u

  

  



 

0 1

1 termes

... _n

n

u u u



  



Applications : si u est une SA :

 

⁰

0 1

1 termes

... 1

2

n n

n

u u

u u u n



      



1

1 2

termes

... 2

n n

n

u u

u u u n 

    



si u est une SG de raison q1:

 

1

0 1 0

1 termes

... 1

1

n n

n

u u u u q

q



     

 

1 2 1

termes

... 1

1

n n

n

u u u u q

q

     

 

3°) Reconnaître une SA ou une SG

 1^ère méthode

1

n n

u_ u r ou u_n_₁u_nr → SA de raison r

1

n n

u_ u q ou ⁿ¹

n

u q

u

  → SG de raison q

La méthode par quotient nécessite d’avoir montré préalablement que tous les termes de la suite sont non nuls ce qui n’est pas toujours possible ou ce qui est parfois difficile.

 2^e méthode

una bn → SA de raison b

n

un a b →SG de raison b

3°) Identités algébriques : 2 formules sommatoires à connaître

Somme des n premiers entiers naturels (SA)



1



1 2 ...

2 n n n

    (n^*)

Somme des puissances consécutives d’un même nombre différent de 1 (SG)

1 1

1 ...

1

n

n q

q q

q

 

   





q1



8 4°) Représentation graphique

Les points de la représentation graphique (nuage de points) d’une SA sont alignés sur une même droite.

Cette propriété caractérise les SA.

VI. Suites périodiques 1°) Définition

 On dit qu’une suite u est périodique lorsqu’il existe un entier p0 tel que  n u_{n p}_ u_n.

 Le plus petit entier naturel p qui vérifie la propriété est appelé la période de la suite.

2°) Exemple

u est la suite définie sur  par un 

 

¹ⁿ.

 n  u_n_2 

 

1ⁿ^² 

   

1ⁿ 1² 

 

1ⁿ 1 u_n (calcul sur les indices).

VII. Suites majorées, minorées, bornées 1°) Définition

u est une suite.

 On dit que u est majorée pour exprimer qu’il existe un réel M tel que  n u_nM (M est un majorant de la suite).

 On dit que u est minorée pour exprimer qu’il existe un réel m tel que  n u_nm (m est un minorant de la suite).

 On dit que u est bornée pour exprimer qu’il existe deux réels m et M tel que  n mu_nM. 2°) Exercice

u est la suite définie sur ^*par  n ^* 2

n 1 u  n. Démontrer que u est bornée.

Méthode :

Il faut démontrer qu’il existe deux réels m et M tels que  n  mu_nM. Autrement dit, il faut encadrer u_n par deux nombres fixes.

Exploration numérique :

On peut chercher en calculant les premiers termes pour avoir une idée.

1 3

u  , u₂2, ₃ 5 u 3, ₄ 3

u 2, ₅ 7 u 5 u semble minorée par 1 et majorée par 3.

(5)

Démonstration :

 Minoration :  n ^* 2 n0  n ^* 2

1 1

n . Donc u est minorée par 1.

(1 est un minorant de la suite u ; 0,5, 0, 1, 0,33

 Majoration :  n ^* n1 1

n1 2

n2 2

1 3

n

Donc u est majorée par 3 (3 est un majorant de la suite).

Bilan :  n  1u_n3 Donc la suite u est bornée.

3°) Propriété (évidente)

 Toute suite croissante est minorée par son premier terme.

 Toute suite décroissante est majorée par son premier terme.

4°) Méthodes pour démontrer qu’une suite est minorée ou majorée Pour démontrer qu’un nombre m est un minorant d’une suite u :

Principe Commentaires

Méthode par comparaison directe

On compare u_net m en utilisant les théorèmes de rangement

- Utilisation lorsque la suite est définie par une formule explicite.

- On utilise les théorèmes de rangement.

- Pas toujours possible Méthode par différence On étudie le signe de la différence

unm et on montre que cette différence est positive ou nulle pour tout entier naturel n.

Assez commode en pratique lorsque la suite est définie par une formule explicite.

Méthode par récurrence On pose par exemple

 

P n : « u_nm »

Commode lorsque la suite est définie par récurrence.

Voir plus tard.

Méthode par minoration d’une somme

Voir plus tard Utilisation pour une suite définie sous forme d’une somme

Les mêmes méthodes s’adaptent pour démontrer qu’un nombre M est un majorant d’une suite u.

5°) Remarque

Une suite dont tous les termes sont positifs ou nuls est minorée par 0.

Une suite dont tous les termes sont négatifs ou nuls est majorée par 0.

VIII. Bilan

1°) Qu’est-ce qu’étudier une suite ?

L’étude d’une suite peut consister à démontrer :

∗ qu’une suite est définie

∗ calculer explicitement le terme général

∗ étudier la monotonie

∗ étudier la convergence (voir plus tard)

2°) Outils d’étude d’une suite - outils numériques

- outils graphiques

Avec utilisation de la calculatrice (voir Appendice) ou d’un tableur pour programmer le calcul des termes et faire des représentations graphiques.

Sur un tableur, on peut représenter un nuage de points.

IX. Appendice : utilisation de la calculatrice pour les suites numériques 1°) Pour déterminer les termes d’une suite récurrente

2°) Pour représenter une suite TI 83

MODE 

(Seq ou Suit)

ENTER 2nd QUIT Y=

nMin : premier indice 2^nd 7 pour taper : u Touche X, T, , n pour n.

u(nMin) : première valeur de u_n

Se placer en mode «suite».

Éditer la suite

Par exemple, soit

 

un la suite définie par :

0 3

u  et ₁ 4

2 1

n n

n

u u

 u

 

 .

TI : attention, u_n est noté ^{u n}

 

^{et on}

exprime u_nen fonction de u_n_₁. Casio: on choisit d'abord le type de suite à enregistrer. La suite est notée

 

^a_n ^.

Pour calculer des valeurs

TI : régler la table (TblSet) et l'afficher (Table).

Casio : régler les paramètres de la Table.

Sur TI, les valeurs peuvent être obtenues directement sur l'écran de calcul : u (5) affiche u₅.

Casio Graph 35 MENU 8 (RECUR)

F3 (TYPE) F2 (a_n_₁)

Pour taper a_nou n, F4 puis F2 ou F1.

F5 (RANG) 0 (Start) EXE 10 (End) EXE 3 (a₀) EXE

TI 83 WINDOW Régler la fenêtre 2^nd ZOOM (FORMAT) Time ENTER GRAPH

Régler la fenêtre d'affichage TI : nMin et nMax sont les indices des premier et dernier terme, PlotStart, l'indice du premier terme à tracer, PlotStep, le pas entre deux valeurs de n.

Faire tracer le nuage de points en appuyant sur TRACE.

Casio Graph 35 SHIFT F3 (V-Windows) Régler la fenêtre.

Retourner à la table, F6 (TABL) F6 (G-PLT)

(6)

11 IX. Sommes : écriture avec le symbole 

1°) Objectifs - modalité d’écriture - comment on développe 2°) Exemple 1

5

1 2 3 4 5

1 k

k k

u u u u u u



    



Comprendre que l’on part de 1 et que l’on va jusqu’à 5.

3°) Exemple 2

1 2

1 k ...

n k

u u u u



   



On est obligé d’écrire la somme avec des petits points.