Les suites numériques Vocabulaire usuel

1

TS

Les suites numériques Vocabulaire usuel

Rappels de 1 ^ère et compléments

Revoir le cours de 1^ère. Le mardi 17-9-2019

Il faut impérativement lire et apprendre la fiche « Fiche sur le symbole sigma ».

« Les deux formules sont équivalentes ».

Le 19-10-2021

Mémo pour les suites sur la calculatrice Numworks Suite définie par récurrence :



aller dans « suites »



cliquer sur « ajouter une suite »



cliquer sur «u_n1 récurrence d’ordre 1 »



rentrer 2 1

3uⁿ3 (leu_n est déjà rentré) et rentreru₀6



cliquer sur « tracer le graphique » Somme et produit :



^calculs



boîte à outils



calcul



somme : sum(f(n),n,nmin,nmax) produit : product(f(n),n,nmin,nmax)

2

COURS en TS1

Mots-clefs / notions connues

Définition d’une suite numérique : u: nu_n Notion d’indice

Différents modes de génération d’une suite : - mode explicite

- mode par récurrence - mode par compréhension

Modes de représentation graphique : - sur un axe (gradué)

- dans le plan muni d’un repèren en abscisse etu_n en ordonnée (nuage de points)

Construction graphique des termes dans le cas d’une suite

 

un définie par un_1 f u

 

n : On utilise la courbe représentative def et la droite d’équationxy.

Ce mode de représentation permet d’obtenir les valeurs approchées des premiers termes et une idée du comportement global de la suite (sens de variation et limite).

Notion de sens de variation : suite croissante /suite décroissante suite monotone

suite constante, stationnaire

Plan du chapitre : I. Généralités

II. Ensemble de définition d’une suite III. Représentations graphiques IV. Sens de variation d’une suite V. Suites arithmétiques et géométriques VI. Suites périodiques

VII. Suite majorée, suite minorée, suite bornée VIII. Bilan

IX. Factorielle d’un entier naturel

X. Algorithmes et programmes liés aux suites (1) : calculs des termes

XI. Algorithmes et programmes liés aux suites (2) : graphiques en nuages de points

I. Généralités

1°) Définition [à connaître par cœur]

Unesuite numérique est une fonctionu:. nu_n

terme d’indice n

Une suite numérique réelle est une fonction définie sur à valeurs dans.

2°) Notation

 

_{n n}

u u _ (les parenthèses sont obligatoires)

Quand il n’y a pas de parenthèses, c’est pour définir le nombre.

Quand il y a des parenthèses, c’est pour définir la fonction.

Exemple : Quand on dit « La suite

 

u_n est croissante », on met des parenthèses.

Première compétence attendue : connaître la définition rigoureuse exacte d’une suite (celle-ci doit être sue parfaitement et peut être redemandée en contrôle).

« Une suite numérique est une fonction de dans. »

3°) Différentes façons de définir une suite Il y en a trois principales.

· 1^ère façon : formule explicite donnant le terme général en fonction de n

Exemple : 1

n 1 u n

 (la variable est désignée par la lettren)

· 2^e façon : par son premier terme et une relation de récurrence c’est-à-dire une relation permettant d’exprimer chaque terme

- en fonction du précédent (relation entre deux termes consécutifs)® suite récurrente simple ou bien

- en fonction des deux précédents® suite récurrente double ou bien

- en fonction des trois précédents® suite récurrente double etc.

Il s’agit d’une nouvelle définition par rapport aux fonctions.

5 Exemple :

 

0

2 1

1

2 3

n n

u

u _ u

 

  



On peut calculer les premiers termes à la main ou à l’aide de la calculatrice avec la commande « rép ».

Cas particulier fondamental : suite récurrente définie par une fonction

On se donne une fonctionf :D® oùD est une partie non vide de.

On définit une suiteu par un premier termeu₀D et la relation de récurrence un_1f u

 

n .

· 3^e façon : par compréhension

Exemple :u_nn-ième décimale de



^n1



3,1415926...

 

1 1

u 

2 4

u 

3 1

u 

4°) Calcul des termes d’une suite récurrente - à la main

- à l’aide de la commande « rép » ou « Ans » de la calculatrice - en rentrant la suite sur calculatrice

5°) Suites particulières

- suites arithmétiques (u_n1u_nb, voir paragrapheV) - suites géométriques (u_n1au_n, voir paragrapheV)

- suites arithmético-géométriques (u_n1au_nb, voir exercices)

relation de

récurrence compréhension

formule explicite

suites

6 Fonction associée à une suite définie par une formule explicite

Soit E une partie de contenant etf une fonction de E dans.

On peut définir une suiteu en posantunf n

 

pour tout entier natureln.

u est la restriction def à.

Lorsqueunf n

 

oùf est une fonction définie sur_, on peut étudier le sens de variation def sur_ et en déduire celui deu.

Exemples :



u_n2ⁿ

« La » fonction associée àu est la fonctionf définie sur par ^{f x}

 

^2x. Il s’agit de la fonction exponentielle de base 2



un 

 

^{2 n}

Dans ce cas, il n’est pas évident de trouver une fonction simple définie sur_ vérifiant

 n  ^u_n ^{f n}

 

(en effet, l’expression

 

^{2 x} n’a pas de sens pourx réel non entier).

II. Ensemble de définition d’une suite 1°) Remarque générale

Une suite peut être définie sur ou seulement sur une partie de.

Déterminer l’ensemble de définition d’une suite définie par une formule explicite est en général facile.

En revanche, c’est souvent plus difficile dans le cas d’une suite définie par récurrence et nous n’avons pas encore tous les outils (raisonnement par récurrence).

2°) Exemples de suites définies par une formule explicite



La suiteu telle que 1

n 1 u n

 est définie sur.



La suiteu telle que 1 un

n est définie sur^* ou à partir de l’indice 1.



^{La suite}u telle queu_n n2 est définie à partir de l’indice 2.

3°) Exemples de suites définies par récurrence

  

0

2 1

1

2 3

n n

u

u_ u

 

  



La suiteu est définie de manière évidente sur (pas de problème de définition).



⁰

1

1

n n 3

u u_ u

 

  



La suiteu est définie sur mais ce n’est pas aussi évident que dans l’exemple



.

On peut faire un raisonnement « de proche en proche » (qui plus tard sera remplacé par un raisonnement par récurrence).



⁰

1

3 2 1

n 1

n

u u^ u

  



 

 

1 2

u   ;u₂ 1 On ne peut pas calculeru₃.

La suite n’est pas définie à partir de l’indice 3 (suite finie).

Lorsque qu’une suiteu est définie par son premier termeu₀ et une relation de récurrence du typeun_1f u

 

n

oùf est une fonction numérique, il peut y avoir un problème de définition suivant la valeur deu₀ et l’ensemble de définition def.

4°) Propriété d’existence d’une suite définie par récurrence (admise sans démonstration) Définition [partie stable par une fonction] :

Soitf une fonction définie sur un ensemble E à valeurs dans E.

On dit qu’une partieD de E est stable parf lorsque x D ^{f x}

 

^D.

Formulation équivalente :

On dit qu’une partieD de E est stable parf lorsque ^{f D}

 

^D.

Propriété :

f est une fonction numérique définie sur une partieD de telle que x D ^{f x}

 

^{D (on écrit f D}

 

^{D et}

on dit queD eststable parf).

Pour tout réelaD, la suiteu définie par son premier termeu₀a et la relation de récurrence u_n1f u

 

_n

est définie sur. De plus, tous les termes de la suite appartiennent àD.

III. Représentations graphiques

1°) Représentation graphique sur un axe gradué

u0 u₂ u₁ u₅ u₆ u₄

0 1 (droite réelle)x

2°) Représentation graphique dans un repère du plan termes

O ^i n

j

indices

La suiteu est représentée par des points isolés (« nuage de points »).

3°) Lecture graphique des termes d’une suite récurrente d’ordre 1

Procédé de construction des termes

On fait apparaître les premiers termes sur l’axe des abscisses sans faire aucun calcul.

On trace la courbe

C

_f d’équation ^{y f x}

 

et la droite d’équation yx (« 1^ère bissectrice » du repère lorsque le repère est normé).

Recette :

On placeu₀ sur l’axe des abscisses.

On monteu₀ jusqu’à

C

_f^.

On obtientu₁ en ordonnée caru1f u

 

0 . On rallonge jusqu’à.

0

 

1

donné

pour tout _{n n}

u

n u_ f u

  

 

O i^ j

 : yx

C

f

9 On redescend en abscisse ; on obtient la valeur deu₁.

On recommence avecu₁ et ainsi de suite.

Il s’agit d’une construction des termes d’une suite récurrentesans calcul.

Il faut bien noter qu’il n’y a aucun calcul pour faire le graphique.

Suivant les cas, on obtient une construction en « marches d’escalier » ou « en spirale » (« en escargot »).

gestes associés à la construction Il est aisé de faire la construction avec le doigt.

IV. Sens de variation d’une suite 1°) Définitions

u est une suite.

On dit queu estcroissante pour exprimer que : n u_nu_n1.

On dit queu eststrictement croissante pour exprimer que : n  u_nu_n1. On dit queu estdécroissante pour exprimer que : n u_nu_n1.

On dit queu eststrictement décroissante pour exprimer que : n  u_nu_n1. On dit queu estconstantepour exprimer que : n  u_nu_n1.

On dit queu est stationnaire à partir de l’indicen₀ pour exprimer que :nn₀ u_nu_n1. On dit queu estmonotone pour exprimer qu’elle est soit croissante soit décroissante.

On dit queu eststrictement monotone pour exprimer qu’elle est soit strictement croissante soit strictement décroissante.

2°) N.B.

· On observera que les définitions d’une suite croissante, décroissante etc. font appel à des phrases quantifiées.

· Une suite peut être monotone à partir d’un certain indice.

On dit que la suite

 

un est croissante à partir de l’indicep pour exprimer que pour tout entier naturelnp, on a :u_nu_n1.

On dit que la suite

 

un est décroissante à partir de l’indicep pour exprimer que pour tout entier naturelnp, on a :u_n1u_n.

10 3°) Méthodes d’étude du sens de variation d’une suite

Principe Commentaires

Méthode par comparaison directe

On compareu_n et u_n1 en utilisant les théorèmes de rangement.

Utilisation assez limitée ; pour les suites définies par une formule explicite simple.

Méthode par différence On étudie le signe de la différence

1

n n

u_ u .

Méthode par quotient Lorsque tous les termes sont strictement positifs, on peut comparer ⁿ¹

n

u u

 à 1.

Si n  ⁿ¹ 1

n

u u

  , alorsu est croissante.

Si n  ⁿ¹ 1

n

u u

  , alorsu est décroissante.

Il faut d’abord vérifier que tous les termes sont de signe positif.

Méthode par étude de fonction

Lorsqueun f n

 

oùf est une fonction définie sur_, on peut étudier le sens de variation def sur_ et en déduire celui deu.

- Il faut connaître la fonction (fonction associée à la suite)

- Pas pour les suites définies par récurrence (voir remarque dans le5°))

Méthode pour les suites arithmétiques et les suites géométriques

On peut utiliser les règles particulières qui sont données dans le paragraphe suivant (par rapport à la raison).

Méthode par récurrence On pose ^{P n}

 

^{: «}unun_1 » ou ^{P n}

 

^{: «}unun_1 »

- Voir plus tard le chapitre sur le raisonnement par récurrence.

- Pratique pour les suites définies par récurrence.

4°) Bêtises à ne pas faire

· Pas de tableau de variation pour les suites.

· Ne pas dire «

 

u_n croissante sur » mais «

 

u_n croissante à partir de l’indice 0 ».

· Pas de dérivée de suite.

· ⁰1

 

donné

n n

u u_ f u

 

 Le sens de variation def ne donne pas celui de

 

un . f croissante u croissante

f décroissante u décroissante

5°) Propriété sur les suites constantes Énoncé :

Soitf une fonction définie sur une partie D.

Soit

 

un une suite définie par la donnée de son premier termeu₀D et la relation de récurrence

 

1

n n

u_ f u .

La suite

 

un est constante si et seulement si f u

 

0 u0.

Démonstration :

On raisonne par condition nécessaire et condition suffisante.

· Si

 

un est constante, alors nécessairement f u

 

0 u0.

· Sif u

 

0 u0, alors on démontre « de proche en proche » (ou mieux, par récurrence) que n  u_nu₀. En effet,u1 f u

 

0 u0,u2f u

 

1  f u

 

0 u0,u3 f u

 

2  f u

 

0 u0 et ainsi de suite « de proche en proche ».

V. Suites arithmétiques et géométriques 1°) Tableau de formules

Suites arithmétiques Suites géométriques

Relation de récurrence



un_1/ un



1

n n

u_ u r

raison arithmétique (nombre fixé)

1

n n

u_ u q

raison géométrique (nombre fixé)

Relation entre deux termes quelconques d’indices n et p

 

n p

u u  np r

(en particulier pour p0 et p1

0

unu  n r

 

1 1

un u n r)

n p

n p

u u q^

0 n

un u q

1 1

n

un u q^ Sommes de

termes consécutifs Formules sommatoires

Somme des termes



nombre de termes



^{1er dernier}

2

  

(nombre de termesmoyenne des termes extrêmes)

Somme des termes

 

nombre de termes

er 1

1 terme 1 q

q

  



 

nombre de termes

er 1

1 terme

1 q

q

  





^q1



Sens de variation (monotonie)

Une suite arithmétique est toujours monotone.

0

r suite strictement croissante 0

r suite strictement décroissante 0

r suite constante

0

0 1 suite strictement décroissante 0 1 suite strictement croissante

0 suite non monotone q

u q

q

  

  

 

0

0 1 suite strictement croissante 0 1 suite strictement décroissante

0 suite non monotone q

u q

q

  

  

 

(contraire dans les deux premiers cas)

Une suite géométrique de 1^er terme différent de 0 est monotone si et seulement siq0.

Une suite arithmétique de raison r0 n’est pas majorée.

Une suite arithmétique de raison r0 n’est pas minorée.

Une suite géométrique de raison^{q }



^{1 ; 1}



est bornée.

Une suite géométrique de raisonq1 n’est pas majorée.

Une suite géométrique de raisonq 1 n’est pas bornée (pas minorée et pas majorée).

13 Ces remarques seront complétées lors de l’étude des limites de suites.

Rappel sur moyenne arithmétique et moyenne géométrique (voir plus loin).

2°) Complément : nombre de termes d’une somme de termes consécutifs Propriété :

Soitn etp deux entiers naturels (ou relatifs) tels que pn. Le nombre d’entiersx tels que p x n est égal àn p 1.

Application aux nombre de termes d’une somme de termes consécutifs d’une suite quelconques : La sommeu_pu_p1 ... u_n comprend n p 1 termes.

 

1 1 termes

p p ... n

n p

u u _ u

 

  



Exemples :

3 4 20

20 3 1 18 termes

...

u u u

  

  



 

0 1

1 termes

... _n

n

u u u



  



Application aux formules des termes consécutifs d’une suite arithmétique ou d’une suite géométrique : Siu est une SA :

 

 

⁰

0 1

1 termes

... 1

2

n n

n

u u

u u u n



      



1

1 2

termes

... 2

n n

n

u u uu  u  n 

Siu est une SG de raisonq1 :

 

1

0 1 0

1 termes

... 1

1

n n

n

u u u u q

q





     

 

1 2 1

termes

... 1

1

n n

n

u u u u q

q

     

 

3°) Reconnaître une suite arithmétique ou une suite géométrique

· 1^ère méthode

1

n n

u_ u r ouu_n1u_nr →SA de raisonr

1

n n

u_ u q ou ⁿ¹

n

u q

u

  →SGde raisonq

La méthode par quotient nécessite d’avoir montré préalablement que tous les termes de la suite sont non nuls ce qui n’est pas toujours possible ou ce qui est parfois difficile.

14

· 2^e méthode

un a bn →SA de raisonb

n

un a b →SG de raisonb Cas particulier :

Soita etb deux réels.

La suite



^{ena b}



est une suite géométrique de premier terme e^b et de raison e^a. 4°) Identités algébriques : 2 formules sommatoires à connaître

Somme des n premiers entiers naturels (SA)



¹



1 2 ...

2 n n n

    (n^*)

Somme des puissances consécutives d’un même nombre différent de 1 (SG)

1 1

1 ...

1

n

n q

q q

q

 

   





^q1



Il est important de noter que la formule de réduction de la somme 1  q ... qⁿ peut s’écrire aussi bien 1 1

1 qn

q

 

 que

1 1

1 qn

q

 

 (formule écrite dans l’autre sens avecq « devant », comme m’a dit Hugo Eremeef élève de Terminale 1 spécialité année scolaire 2020-2021 le 8 décembre 2020).

5°) Représentation graphique

Les points de la représentation graphique (nuage de points) d’une SA sont alignés sur une même droite.

Cette propriété caractérise les suites arithmétiques.

6°) Moyenne arithmétique, moyenne géométrique Définition [moyennes arithmétique et géométrique] :

· La moyenne arithmétique de deux réelsa etb est le nombre 2 a b

.

· La moyenne géométrique de deux réels positifs ou nulsa etb est ab. Propriété :

La moyenne arithmétique de deux réels positifs ou nuls est toujours supérieure ou égale à la moyenne géométrique.

En effet, 2

 

²

2 2 2

a b

a b a b ab

ab

       .

Un carré est toujours positif ou nul donc 0 2

a b  ab . Par conséquent, 2

a b  ab.

Illustration géométrique (faite par Inès Colette, élève de TS1, le 23-9-2019) : construction et comparaison On considère deux réelsa etb strictement positifs.

On considère ensuite deux segments de longueursa etb.

Ce faisant, on reprend la vision des mathématiciens grecs de l’Antiquité pour lesquels les nombres désignaient soit des quantités soit des longueurs.

A Q O B

P R

a b

a b

Les triangles BQP et AQP sont semblables car ils ont deux angles (en fait les trois de même mesure : l’angle droit et les deux autres angles par la propriété des angles à côtés perpendiculaires) donc AQ PQ

PQQB (proportionnalité des longueurs des côtés).

On obtient alorsPQ²AQ QB soit PQ² a b.

Comme PQ est une longueur,PQ ab. Ainsi, PQ est donc la moyenne géométrique dea et deb.

On observe géométriquement que QPOP car, dans un triangle rectangle, l’hypoténuse est le plus grand côté) ce qui donne

2 aba b .

On obtient une démonstration géométrique de l’inégalité de comparaison entre moyenne arithmétique et moyenne géométrique.

Propriété :

· Dans une suite arithmétique, chaque terme, sauf le premier, est la moyenne arithmétique de ceux qui l’encadrent.

Réciproquement, une suite telle que chaque terme, sauf le premier, est la moyenne arithmétique de ceux qui l’encadrent, est arithmétique.

· Dans une suite géométrique dont tous les termes sont positifs ou nuls, chaque terme, sauf le premier, est la moyenne géométrique de ceux qui l’encadrent.

ab

2 ab

7°) Modélisation

· Les suites arithmétiques servent à modéliser des situations où l’on a une augmentation / diminution (absolue) constante.

Situation-type : évolution d’un capital sur un compte en banque avec ajout d’une même somme tous les ans.

On place un capital de 1000 euros et chaque année on ajoute 15 euros. On n’effectue aucun retrait.

On noteu_n la valeur acquise en euros par le capital au bout den années.

Chaque année, la valeur acquise par le capital augmente de 15 euros ce qui se traduit par

 n  u_n1u_n15.

 

un est une suite arithmétique de premier terme 1000 et de raison 15.

· Les suites géométriques servent à modéliser des situations où l’on a une augmentation / diminution relative constante.

Situation-type : Évolution d’un capital sur un compte en banque qui rapporte des intérêts tous les ans, le montant des intérêts étant calculé par un taux fixe sur le capital de l’année précédente.

On place un capital de 1000 euros sur un livret rémunéré au taux fixe de 2 %. On n’effectue aucun retrait.

On noteu_n la valeur acquise en euros par le capital au bout den années.

Le coefficient multiplicateur associé à une augmentation de 2 % est 1,02.

Chaque année, la valeur acquise par le capital est multipliée par 1,02 ce qui se traduit par

 n  u_n11, 02u_n.

 

un est une suite géométrique de premier terme 1000 et de raison 1,02.

Rappel sur les formules de coefficients multiplicateurs associés à une augmentation ou une diminution en pourcentage :

· Le coefficient multiplicateur associé à une augmentation det % est 1 100

 t .

· Le coefficient multiplicateur associé à une diminution det % est 1 100

 t .

17 8°) Suites arithmético-géométriques

Définition [suite arithmético-géométrique]

On dit qu’une suiteu estarithmético-géométrique s’il existe deux réelsa etb tels que

 n u_n1au_nb.

Cas particuliers : 1

a

Dans ce cas, la suiteu est arithmétique de raisonb.

0 b

Dans ce cas, la suiteu est géométrique de raisona.

0 a

Dans ce cas, la suiteu est constante (tous les termes sont égaux àb).

Propriété [expression du terme général d’une suite arithmético-géométrique lorsque le coefficient a est différent de 1]

Lorsquea1, l’expression deu_n  aⁿ  u_n aⁿ  où et sont des constantes.

Cette expression résulte du lemme suivant qui se démontre aisément lorsquea1. On notel le réel tel que

l

a

l

b^.

La suite



unl



est géométrique de raisona.

La démonstration est quasiment immédiate.

On soustrait membre l’égalitéu_n1au_nb et l’égalité

 

^{1 .}

Leb disparaît alors.

On obtientun_1 l a u



nl



.

Cette relation est valable quel que soit l’entier natureln et prouve donc que la suite



unl



est géométrique de raisona.

Cette année, la plupart des exercices guideront au moyen de la suite auxiliaire



unl



(qui sera donnée).

Une autre voie consiste à effectuer le calcul des premiers termes afin d’effectuer une conjecture.

1 0

u au b

 

2 0

u a au  b b

2 0

2 a u b

u  ab

3 2

3 0

u a u a bab b

18 Il est assez facile de conjecturer que n  u_na uⁿ ₀a^n1b ... ab b .

En factorisant, on peut même écrire n  u_na uⁿ 0b a



^n1  ... a 1



.

La sommea^n1  ... a 1 peut être réduite aisément et l’on retrouve alors la forme du terme général donné dans la propriété.

On privilégie en général la méthode avec la suite géométrique auxiliaire.

VI. Suites périodiques 1°) Définition

· On dit qu’une suiteu estpériodique lorsqu’il existe un entier p0 tel que n u_{n p} u_n.

· Le plus petit entier naturelp qui vérifie la propriété est appeléla période de la suite.

2°) Exemple

u est la suite définie sur parun 

 

¹ⁿ.

 n  u_n2 

 

1^n2 

     

1ⁿ 1² 1ⁿ 1 u_n (calcul sur les indices) Ainsi la suiteu est périodique de période 2.

3°) Remarques

· Une suite périodique de période 1 est une suite constante.

· Une suite périodique de période p2 n’est pas monotone.

4°) Propriété des termes Exemple 1 :

Soitu une suite périodique définie sur de période 4.

On cherche à déterminer u₈₀₂.

On observe que les termes fonctionnent par groupe de 4.

0 4 8 12 ...

u u u u 

Tous les termes d’indice 4k aveck entier naturel sont égaux àu₀.

1 5 9 13 ...

u u u u 

Tous les termes d’indice 4k1 aveck entier naturel sont égaux àu₁.

2 6 10 14 ...

u u u u 

Tous les termes d’indice 4k2 aveck entier naturel sont égaux àu₂.

3 7 11 15 ...

u u u u 

Tous les termes d’indice 4k3 aveck entier naturel sont égaux àu₃. Exemples :

u802 ?

On a 802 4 200 2 doncu₈₀₂u₂. u805 ?

On a 805 4 201 1 doncu₈₀₅u₁. Exemple 2 :

Soitu une suite périodique définie sur de période 3.

0 3 6 ...

u u u 

1 4 7 ...

u u u 

2 5 8 ...

u u u 

Tous les termes d’indicen3k aveck entier naturel sont égaux à u₀. Tous les termes d’indicen3k1 aveck entier naturel sont égaux àu₁. Tous les termes d’indicen3k2 aveck entier naturel sont égaux àu₂.

VII. Suite majorée, suite minorée, suite bornée

La notion de suite majorée, minorée, bornée est analogue à la notion de fonction majorée, minorée, bornée rappelée ci-dessous.

Définition [fonction majorée, minorée, bornée] à connaître par cœur

f est une fonction définie sur une partieD de.

· On dit quef estmajorée surD pour exprimer qu’il existe un réelMtel que x D ^{f x}

 

^{M (M est}

unmajorant de la fonction).

· On dit quef estminorée surD pour exprimer qu’il existe un réelmtel que  x D ^{f x}

 

^m (m est un minorant de la fonction).

· On dit quef estbornée pour exprimer qu’il existe deux réelsm etMtels que  x D mf x

 

M.

Le mercredi 18-9-2019

Majorer une promo : être le premier d’une promo (on parle du « major »).

Minorer une promo : être le dernier d’une promo.

Majoration d’amende, amende majorée.

Commandant major, tambour major qui a donné majorette.

Majorité, majoritaire Minorité, minoritaire majordome

Major : comparatif de « magnus » en latin qui veut dire grand.

Minor : comparatif de « parvus » en latin qui veut dire petit.

Le mot major se retrouve dans certaines langues « Plaza major ».

De même, les îles de Majorque et Minorque.

On le retrouve dans l’étymologie du mot « maire ».

On le retrouve aussi dans l’origine du nom de famille Mayeur.

Exemples :

1. La fonction « carré » est minorée sur par 0 mais pas majorée.

2. La fonctionxx² est majorée sur par 0 mais pas minorée.

3. Les fonctions « cosinus » et « sinus » sont bornées sur puisque toutes les valeurs sont comprises entre – 1 et 1.

4. La fonction « inverse » est minorée par 0 sur



^{0 ; }



. 0 n’est pas atteint.

Lorsqu’une fonction admet un majorant, alors tous les nombres supérieurs ou égaux à ce nombre sont aussi des majorants. C’est pourquoi on parle d’un majorant et non du majorant.

Idem pour les minorants.

21 Lorsqu’une fonction admet un maximum, alors elle est majorée.

Lorsqu’une fonction admet un minimum, alors elle est minorée.

Exemple 1 : 0 est le minimum global de la fonction « carré » sur.

Exemple 2 : 1 et – 1 sont les maximum et minimum des fonctions cosinus et sinus sur.

Exercice : Démontrer quef :x ₂² 1 x

x  est bornée sur.

On utilise la calculatrice graphique.

Vision graphique.

Lien entre majorant et minimum : On considère la fonctionf :x1x².

1 est un majorant def sur (c’est un majorant quasi évident).

De plus, ce majorant est atteint pour x0.

On en déduit que 1 est le maximum def sur et qu’il est atteint en 0.

On peut aussi dire que la valeur maximale de1x² lorsquex décrit est égale à 1.

Maximum et minimum : mots latin, superlatif de magnus et parvus.

Pontifex maximus

Phrases à apprendre par cœur :

Le maximum de l’expression1x² est 1 atteint en 0.

La valeur maximale de l’expression1x² est 1 atteinte en 0.

Quand un majorant ou un minorant n’est pas évident, il faut faire une étude plus poussée (étude de variations en particulier).

On parle rarement du maximum ou du minimum d’une suite.

On parle d’extremum absolu ou global.

On parle d’extremum relatif ou local.

« Le Calcul infinitésimal, [...], est l’apprentissage du maniement des inégalités bien plus que des égalités, et on pourrait le résumer en trois mot : MAJORER, MINORER, APPROCHER. »

Jean Dieudonné, Calcul Infinitésimal, (1968).

"Majorer", "minorer", "approcher". Trois termes auxquels on pourrait ajouter "découper" et "encadrer".

22 Le mardi 24-9-2019

f :xx²1

Fonction à valeurs positives donc minorée par 0 Maximum et minimum sont appelés extremums.

On parle d’extremums globaux ou locaux.

Le lundi 7-10-2019 f :xx²1

Cette fonction est minorée par 0. Cependant ce minorant n’est pas atteint.

En revanche, elle est aussi minorée par 1 et ce minorant est atteint.

Le lundi 7-10-2019 Mots :

Majoré, minoré, borné Majorer, minorer, borner Majorant, minorant, borne

Pour démontrer qu’une fonction est bornée, on doit réaliser un encadrement pas deux réels fixes.

Le 15-10-2021 majeur // mineur adjectif majeur

nom (doigt)

· prénom Maxime

· ordre des Minimes

comparatif / superlatif

Le lundi 23 septembre 2019 (soir)

· Majoration de salaire

· Risques minorés Le 15-10-2019 Optimum

Le 29 août 2021

Quand on dit qu’une personne est bornée ou a un esprit borné, ce n’est pas flatteur.

L’adjectif borné est péjoratif.

Le lundi 18 octobre 2021 Magnus

· magnifique

· magnum (bouteille de champagne)

· magnat (magnat de la presse, magnat de l’industrie)

· Magnum (marque de glace)

· magnitude d’un séisme

· magnanimité, magnanime

· Charlemagne Carolus Magnus

· Louis XIV Louis le Grand Ludovicus Magnus Majoré® magnus = grand

Minoré® parvus (pas de lien) = petit Le 19-10-2021

majoré majorer

majorant mega

majuscule // minuscule

magnanime magnanimité : magna anima grandeur d’âme magister en latin : le maître (celui qui en sait plus que les autres) magasin mot arabe

basilique majeure // basilique mineure magnificat

majesté

voir projetbabel.com La famille MEGALO

1°) Définition [suite majorée, suite minorée, suite bornée]

Définition 1 [majorant, minorant]

u est une suite.

· On dit que qu’un réelMest un majorant deu si n  u_nM.

· On dit que qu’un un réel est un minorant deu si n  u_nm.

Définition 2 [suite majorée, suite minorée, suite bornée]

u est une suite.

· On dit queu estmajorée pour exprimer qu’il existe un réelMtel que n u_nM (M est un majorant de la suite).

· On dit queu estminorée pour exprimer qu’il existe un réelmtel que  n u_nm (m est un minorant de la suite).

· On dit queu estbornée pour exprimer qu’elle est majorée et minorée c’est-à-dire qu’il existe deux réels m etMtels que n mu_nM.

On parle de suite majorée, suite minorée, suite bornée.

2°) Exercice

u est la suite définie sur^* par n ^* 2

n 1 u  n. Démontrer queu est bornée.

Méthode :

Il faut démontrer qu’il existe deux réelsm etMtels que  n mu_nM. Autrement dit, il faut encadreru_n par deux nombres fixes.

Autre formulation : Il faut trouver unm et unMtels que n  mu_nM. Exploration numérique :

On peut chercher en calculant les premiers termes pour avoir une idée.

1 3

u  ,u₂2, ₃ 5 u 3, ₄ 3

u 2, ₅ 7 u 5 u semble minorée par 1 et majorée par 3.

25 Démonstration :

1^ère version :

· Minoration :

1^ère méthode :

On peut dire immédiatement d’après l’expression donnée que tous les termes de la suite sont strictement positifs c’est-à-dire n ^* u_n0. À fortiori on a donc n ^* u_n0.

0 est donc un minorant de la suite (c’est un minorant évident).

2^e méthode : n *

  2

n0 donc n ^* 2

1 1

 n soit n ^* u_n1. On en déduite queu est minorée par 1 (1 est un minorant de la suite).

Commentaires :

0 et 1 sont des minorants de la suiteu.

On peut démontrer que 1 est le « meilleur » minorant (meilleur des minorants). Ce point est à relier à la limite de la suite.

On peut noter que tous les nombres inférieurs ou égaux à 1 sont aussi des minorants. Ainsi, 0,5, 0, – 1, – 0,33 sont aussi des minorants.

· Majoration :

1^ère méthode :

On essaie de majoreru_n (terme général) par un nombre fixe indépendant den.

On procède par inégalités successives.

n *

  n1 (on aurait aussi pu écriren0) d’où  n ^* 1

n1 (passage à l’inverse dans une inégalité dont les deux membres sont de même signe)

En multipliant les deux membres de l’inégalité précédente par 2 qui est strictement positif, on obtient n *

  2 n2.

En ajoutant 1 aux deux membres de l’inégalité précédente, on obtient n ^* 2

1 3

n . Ainsi n ^* u_n3 doncu est majorée par 3 (3 est un majorant de la suite).

2^e méthode :

On étudie le sens de variation deu. On démontre queu est décroissante (ce qui nécessite un certain travail…) et on utilise la propriété donnée dans le paragraphe suivant : « Tout suite décroissante est majorée par son premier terme ».

Le premier terme de la suite estu₁3. La suiteu est donc majorée par 3.

26 Bilan :

On a établi l’encadrement n ^* 1u_n3. Donc la suiteu est bornée.

2^e version (plus rapide) :

On travaille directement avec des doubles inégalités pour encadrer u_n par deux réels fixes (indépendants den).

On écrit le meilleur encadrement possible de 1

n pourn^*.

On n’est pas obligé d’écrire le meilleur encadrement possible mais il est plus logique de procéder ainsi.

On a n ^* 1

0 1

n .

On multiplie ensuite chaque membre de cet encadrement par 2.

Comme 2 est un réel strictement positif, le sens des inégalités est conservé.

On a n ^* 2

0 2

n .

On ajoute 1 à chaque membre de cet encadrement.

On obtient n ^* 2

1 1 3

 n . On a donc  n ^* 1u_n3.

On en déduit l’encadrement  n ^* 1u_n3 qui permet d’affirmer que la suiteu est bornée.

3°) Propriété (évidente mais importante) [lien entre monotonie d’une suite et existence de majorant ou de minorant]

 Toute suite croissante estminorée par son premier terme.

 Toute suite décroissante estmajorée par son premier terme.

En effet :

si

 

un est une suite croissante, on a :u₀ u₁ u₂ ... u_nu_n1 ; si

 

un est une suite décroissante, on a :u₀ u₁ u₂ ... u_nu_n1.

4°) Méthodes pour démontrer qu’une suite est minorée ou majorée Pour démontrer qu’un nombrem est un minorant d’une suiteu:

Principe Commentaires

Méthode par comparaison directe

On compareu_netmen utilisant les théorèmes de rangement.

- Utilisation lorsque la suite est définie par une formule explicite.

- On utilise les théorèmes de rangement.

- Pas toujours possible Méthode par différence On étudie le signe de la différence

unm et on démontre que cette différence est positive ou nulle pour tout entier natureln.

Assez commode en pratique lorsque la suite est définie par une formule explicite.

Méthode par récurrence On pose par exemple

 

P n : «u_nm »

Commode lorsque la suite est définie par récurrence.

Voir plus tard.

Méthode par minoration d’une somme

Voir plus tard Utilisation pour une suite définie sous forme d’une somme.

Les mêmes méthodes s’adaptent pour démontrer qu’un nombreM est un majorant d’une suiteu.

5°) Remarques (trois petites propriétés évidentes)

· Suites de signe constant

Une suite dont tous les termes sont positifs ou nuls est minorée par 0.

Une suite dont tous les termes sont négatifs ou nuls est majorée par 0.

· Suites périodiques

Une suite périodique est bornée.

· Suites constantes

Une suite constante est bornée.

Une suite

 

un est constante si et seulement si il existe un réela tel que n  u_na. Dans ce cas,a est un majorant et un minorant.

· Suite associée à une fonction

Soitf une fonction définie sur une partieD de contenant.

On considère la suite

 

un définie par n  u_nf n

 

. Sif est majorée surD, alors

 

^u_n est majorée.

Sif est minorée surD, alors

 

un est minorée.

Sif est bornée surD, alors

 

un est bornée.

6°) Suite non majorée – non minorée

Une suite

 

^u_n est majorée si et seulement si M  / n  u_nM.

Attention, on ne peut pas échanger les quantificateurs et  selon le rappel de logique donné dans le cadre ci- dessous.

Dans une phrase, on peut permuter deux quantificateurs de même nature mais pas deux quantificateurs de natures différentes.

Qu’est-ce qu’une suite non majorée ? Ce n’est pas une suite minorée !

Une suite

 

un n’est pas majorée si et seulement si il n’existe pas de réelM tel que n  u_nM. On effectue la négation de la phrase quantifiée «  M  / n  u_nM ».

Une suite

 

un n’est pas majorée si et seulement si M   n  /u_nM. Dans cette phrase, len dépend deM.

Exemples :

On peut démontrer que la suite

  

^3n



n’est pas majorée (ni minorée).

Elle n’admet pas de limite.

La suite

  

^1n



est bornée car tous les termes sont compris entre – 1 et 1.

Elle n’admet pas de limite.

On peut faire pareil pour une fonction non majorée ou non minorée.

Il n’est pas toujours facile de démontrer qu’une suite n’est pas majorée ou n’est pas minorée.

Une méthode possible est parfois de procéder par l’absurde.

VIII. Bilan

1°) Qu’est-ce qu’étudier une suite ?

L’étude d’une suite peut consister à démontrer : qu’une suite est définie

calculer explicitement le terme général étudier la monotonie

étudier la convergence (voir plus tard) 2°) Outils d’étude d’une suite - outils numériques

- outils graphiques

Avec utilisation de la calculatrice (voir Appendice) ou d’un tableur pour programmer le calcul des termes et faire des représentations graphiques.

29 Sur un tableur, on peut représenter un nuage de points.

IX. Factorielle d’un entier naturel

· Définition et notation

Pour tout entier natureln2, on appelle« factorielle de n » le produit de tous les entiers naturels de 1 àn.

On note ce nombren!. On a donc :n! 1 2 3 ...    n.

La notion de factorielle existe depuis le XVIII^e siècle (le mot factorielle vient du mot facteur).

La notation avec un point d’exclamation (notation assez heureuse, il faut dire) a été trouvée au début du XIXe siècle par un professeur de mathématiques de Strasbourg et a dès lors été adoptée définitivement par tous les mathématiciens.

·Par convention, on pose également : 0! 1 1! 1 La logique de ces conventions sera expliquée plus loin.

On convient de poser 0! 1 et 1! 1 c’est-à-dire que l’on a décidé que la factorielle de 0 serait égale à 1 et que la factorielle de 1 serait aussi égale à 1 (on a donné la valeur 1 aux factorielles de 0 et de 1).

· Exemple :

5! 1 2 3 4 5     120

· Calculatrice :

On peut aussi utiliser la calculatrice.

Numworks alpha .

TI 83 Premium CE

math menu PROB et choix 4 (!)

Raccourci : alpha fenêtre choix « FONC » puis sélectionner le choix 9.

Attention :

Lorsque les valeurs den sont trop grandes, on dépasse les capacités de la calculatrice.

Pour la calculatrice TI, on est en dépassement à partir de 69. Elle déclare qu’elle est « overflow ».

Pour la calculatrice Numworks, le calcul de 170 ! est possible mais pas celui de 171 !.

Le calcul de la factorielle d’un entier négatif n’est pas possible.

Il n’est pas possible de calculer la factorielle d’un nombre négatif ou d’une fraction.

30 Attention, l’écriture (- 5) ! ne sera pas calculée alors que – 5 ! calculera l’opposé de la factorielle de 5 (la calculatrice comprend cette expression comme – (5 !)).

· Propriété fondamentale

 n 



^{n1 !}



^{  n!}



^{n 1}



Commentaires sur cette formule :



^{n1 !}



désigne la factorielle den1. On notera la présence des parenthèses qui est indispensable.

On peut aussi écrire que n ^{* n!}



ⁿ ^{1 !}



ⁿ qui est tout aussi importante.

· Retour sur les conventions

La relation



^{n1 !}



^{  n!}



^{n 1}



est évidente pourn2.

Si on veut qu’elle soit vraie pourn1, on doit avoir 2! 1! 2  soit 2 1! 2  donc nécessairement 1! 1 . Si on veut qu’elle soit vraie pourn0, on doit avoir 1! 0! 1  soit 1 0! 1  donc nécessairement 0! 1 .

· Autre écriture (sous forme symbolique) :

1

!

k n

k

n k









symbole «P » qui signifie « produit »

· Autre écriture :

- La factorielle d’un entier négatif n’existe pas, la factorielle d’un réel non entier naturel n’existe pas (même si la calculatrice affiche un résultat pour la factorielle de 69,5, mais là il s’agit d’un bug !).

- La suite des factorielles d’entiers naturels croît très vite, plus vite qu’une exponentielle (plus vite qu’une exponentielle d’exponentielle ?).

· Exercice : Simplifier 100!

98!. Solution :

Il faut imaginer les produits écrits dans sa tête et les gestes pour simplifier les nombres identiques dans les produits du numérateur et du dénominateur.

100! 99 100 9900

98!  

100! 1 2 3 ... 97 98 98!

    

 99 100

1 2 3 ... 97 98

 

     99 100 9900 On a 100 facteurs au numérateur et 98 facteurs au dénominateur.

Tous les facteurs du dénominateur se retrouvent au numérateur. On peut donc simplifier le quotient.

De même, on peut simplifier 98! 1 100!99 100

 et100!

98 99 100 970200

97!    .

· Petit lemme :



^{0 ;}



k n

  !

! n

k est un entier naturel.

Plus précisément, ^!



¹



^{2 ...}

 

¹



!

n n n n n k

k     





^nk



facteurs (décroissants de 1 en 1 à partir den)

Autre formulation en terme de divisibilité :



^{0 ;}



k n

  k! divisen!

· Fonction Python : Voir le paragrapheX. 5°).

L’entier naturel le plus grand dont on pourra calculer la factorielle dépend du matériel utilisé pour faire tourner le programme.

Sur la calculatrice Numworks, on peut monter jusqu’à la factorielle de 8870.

Sur un ordinateur, on peut monter jusqu’à la factorielle de 1 million.

En programmant sur la calculatrice Numworks, on peut obtenir la factorielle d’entiers supérieurs à 170.

· Une application concrète aux permutations et aux anagrammes :

Il s’agit d’un problème de dénombrement important.

Exemple :

MARIE

Une anagramme : une permutation des lettres sans se soucier du sens.

Il y en a : 5 ! 120 .

1^ère lettre

2e lettre

3^e lettre

4^e lettre

5^e lettre

5 4 3 2 1

On a 5 lettres deux à deux distincts.

Il y a 120 anagrammes possibles.

Généralisation :

Pour un mot comprenantn lettres deux à deux distinctes, il y an ! anagrammes possibles.

X. Algorithmes et programmes liés aux suites (1) : calculs de termes

On s’intéresse à divers algorithmes et programmes permettant le calcul des termes de suites définies par récurrence, par une somme ou un produit.

On utilise dans chaque cas une boucle « Pour » (ou boucle bornée).

Dans chaque cas, on a écrit des algorithmes facilement adaptables à des situations analogues.

1°) Exemple 1 [suite définie par une récurrence simple]

 

u_n est la suite définie sur par son premier termeu₀4 et la relation de récurrence :

 n  u_n12u_n3.

· On souhaite calculer le terme d’indicen,n étant un entier naturel supérieur ou égal à 1.

Algorithme de base rédigé en langage naturel :

La relation de récurrence s’écrit aussi i ^* u_i2u_i13. Pour calculer u₁, on « fait »i1.

Pour calculer u₂, on « fait »i2. Et ainsi de suite.

Si on veut calculeru_n pour un entier natureln quelconque supérieur ou égal à 1,i doit prendre successivement les valeurs 1, 2, …,n.

On utilise une boucle « Pour » :

u¬ 4

Pour i allant de 1 àn Faire u¬2u3

FinPour

La variable de bouclei doit parcourir un ensemble d’entiers consécutifs.

Le plus naturel est de choisir «i allant de 1 àn » mais on peut aussi choisir «i allant de 0 àn1 ».

Le choix n’a pas d’incidence sur les résultats car la variable de boucle n’intervient pas dans les calculs.