Rappeler les variations de ln surI 6

TS 8 Interrogation 11A : Correction 7 mars 2018 Exercice 1 :

1. ln est d´efinie surI= `a valeur dans 2. pour tout r´eelx, ln(e^x) =

3. lim

x→+∞ln(x) = 4. lim

x→0ln(x) =

5. Rappeler les variations de ln surI 6. Donner le tableau de signes de ln :

x

ln(x) 7. ln⁰(x) =

8. Quelle relation graphique existe entre exp et ln ? Exercice 2 :

Exprimer chacun des nombres suivants en fonction de ln 2 :

1. ln(8) 2. ln(√

2) 3. ln ¹₂

Solution:

1. ln(8) = ln(2³) = 3 ln(2) 2. ln(√

2) = ¹₂ln(2) 3. ln ¹₂

=−ln(2)

Exercice 3 :

On consid`ere la fonction f d´efinie sur ]0; +∞[ parf(x) =xln(x) 1. ´Etudier les limites def en 0 et +∞

2. Pour tout r´eelx >0, calculerf⁰(x)

3. ´Etudier le signe de f⁰(x) et en d´eduire les variations def.

4. En d´eduire quef admet un maximum sur ]0; +∞[ que l’on pr´ecisera.

Solution:

1. limx→+∞x = +∞ et limx→+∞ln(x) = +∞, par produit, limx→+∞xln(x) = +∞. Par croissance compar´e, lim_x→+∞xln(x) = 0

2. f⁰(x) = ln(x) + 1

3. ln(x) + 1>0⇔ln(x)>−1⇔x >e⁻¹. La fonction est d´ecroissante sur ]− ∞; e⁻¹[ et croissante sur ]e⁻¹; +∞[.

4. Le maximum est atteint en e⁻¹ et vaut−e⁻¹