MPSI B 29 juin 2019

(1)

MPSI B 29 juin 2019

Énoncé

Étude d'une suite de racines d'équations algébriques. ¹ Pour p ∈ N ^∗ , on considère l'équa- tion

x ^p + x ^p−1 + · · · + x ² + x = 1 (E p ) On considère aussi les fonctions f et g dénies dans R ⁺ par :

f (x) = 1

x + 1 g(x) = 1

x ² + x + 1 1. Étude de la suite des racines.

a. Montrer que l'équation (E p ) admet une unique solution positive. Cette solution sera notée x p .

b. Justier que x p ∈]0, 1] et que x p (1 − x ^p _p ) = 1 − x p . c. Établir que (x _p ) _p∈ _N

^∗

est monotone puis convergente.

d. Établir que (x ^p _p ) _p∈ _N

^∗

converge vers 0. En déduire la limite de (x _p ) _p∈ _N

^∗

. 2. On dénit la suite (ε p ) _p∈N

^∗

par la relation suivante valable pour tous les p ∈ N ^∗

ε p = 2x p − 1

a. Soit q ∈]0, 1[ xé, montrer la convergence et donner la limite de (nq ⁿ ) n∈ N . b. Trouver une formule très simple reliant ε p et x ^p+1 _p .

c. Montrer que

((p + 1) ln(1 + ε p )) p∈ N

^∗

→ 0 d. Trouver une suite équivalente simple à (ε p ) _p∈N

^∗

.

3. Approximation de la racine de (E ₂ ) . Dans cette question, p = 2 et x ₂ est noté α . a. Simplier f (α) .

b. Montrer que l'intervalle [ ¹ ₂ , 1] est stable par f . c. On considère la suite (u n ) _n∈ _N dénie par u 0 = 1 et

∀n ∈ N : u n+1 = f (u n )

Montrer que la suite est bien dénie et que pour tout entier n :

|u n+1 − α| ≤ 4

9 |u n − α|

1

d'après http ://mpsiddl.free.fr

d. En déduire la convergence et la limite de la suite (u n ) n∈ N .

4. Approximation de la racine de (E 3 ) . Dans cette question, p = 3 et x 3 est noté β . a. Former le tableau de variations de g .

b. On considère la suite (v n ) _n∈N dénie par v 0 = 1 et

∀n ∈ N : v n+1 = g(v n )

Montrer que la suite est bien dénie et que v n ∈ [0, 1] pour tout entier n . c. Montrer que les deux suites extraites (v 2n ) n∈ N et (v 2n+1 ) n∈ N sont monotones.

Préciser leurs sens de variations et prouver qu'elles sont convergentes. On note l et l ⁰ leurs limites respectives.

d. Montrer que g(l) = l ⁰ et g(l ⁰ ) = l . e. Montrer que l vérie

(l ² + 1)(l ³ + l ² + l − 1) = 0

f. Montrer que l = l ⁰ = β . En déduire la convergence et la limite pour (v n ) _n∈ _N .

Cette création est mise à disposition selon le Contrat

Paternité-Partage des Conditions Initiales à l'Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/

1

Rémy Nicolai Aseqracalg

(2)

MPSI B 29 juin 2019

Corrigé

1. a. La fonction continue f _p : x → −1 + x + · · · + x ^p est strictement croissante entre 0 et 1 . Sa valeur en 0 est −1 < 0 , sa valeur en 1 est p − 1 > 0 . Elle s'annule donc exactement une fois en un nombre noté x p ∈]0, 1[ (pour p ≥ 2 ).

b. En multipliant l'équation (E p ) par 1 − x p , on obtient la relation demandée x p (1 − x ^p _p ) = 1 − x p

c. Par dénition de x p : f p+1 (x p ) = x ^p+1 _p > 0 . Comme f p+1 est strictement croisante ceci prouve que x ^p+1 < x p . La suite (x p ) p∈ N est donc décroissante et minorée par 0 , elle converge. Notons l sa limite.

d. Comme la suite est décroissante, on peut écrire (pour tout p ≥ 2 ) : 0 ≤ x ^p _p ≤ x ^p ₂

Ce qui prouve ( x 2 ∈]0, 1[ et théorème d'encadrement) que (x ^p _p ) p∈ N converge vers 0. En utilisant la relation du b., ontrouve alors que l = 1 − l ce qui entraine que la limite l de x _p est ¹ ₂ .

2. a. Question de cours

b. On trouve en remplaçant dans la formule du 1.b. : ε p = x ^p+1 _p c. D'après 1. la suite (ε p ) _p∈ _N → 0 . On peut en déduire

(p + 1) ln(1 + ε p ) ∼ (p + 1)ε p = (p + 1)x ^p+1 _p et

0 ≤ (p + 1)x ^p+1 _p ≤ (p + 1)x ^p+1 ₂

On conclut alors avec la question 2.a. et le théorème d'encadrement.

d. Comme

x p = 1 + ε p

2 et ε p = x ^p+1 _p on peut écrire :

ε p = 1

2 ^p+1 (1 + ε p ) ^p+1 = 1

2 ^p+1 e (p+1) ln(1+ε

p

)

D'après 2.c., l'exponentielle à droite tend vers 0 donc : (ε _p ) _p∈ _N ∼ ( 1

2 ^p+1 ) _p∈ _N

3. a. Par dénition de α : f (α) = α .

b. La fonction f est clairement décroissante et continue donc : f ([ 1

2 , 1]) = [f (1), f ( 1 2 )] = [ 1

2 , 2 3 ] ⊂ [ 1

2 , 1]

c. Comme d'après la question précédente l'intervalle est stable, la suite est bien dénie avec u n ∈ [ 1

2 , 1] pour tous les n . On a vu au début que la racine α était elle aussi dans cet intervalle. On peut donc appliquer l'inégalité des accroissements nis à f entre u n et α . La valeur maximale de la valeur absolue de la dérivée dans l'intervalle est obtenue en 1

2 . Elle vaut ( 2

3 ) ² On en déduit l'inégalité.

d. L'inégalité de la question précédente et le théorème d'encadrement montrent que (ε _p ) _p∈ _N → α

4. a. La dérivée de g s'annule seulement en − ¹ ₂ , l'étude de son signe montrer que la fonction g est décroissante dans R + .

b. D'après la question précédente :

g([0, 1]) = [g(1), g(0)] = [ 1 3 , 1]

L'intervalle [0, 1] est donc stable par g et toute suite dont le premier terme est dans cet intervalle est bien dénie par récurrence avec g . Toutes ses valeurs restent dans l'intervalle.

c. Les deux suites extraites pour les indices pairs et impairs sont monotones car g ◦ g est croissante comme composée de deux fonctions décroissantes. Comme elles restent dans l'intervalle bornée [0, 1] , elles convergent.

De plus,

v ₀ = 1, v ₁ = 1

3 , v ₂ = 1 1 9 + 1

3 + 1

< 1

On en déduit que la suite extraite pour les indices pairs est décroissante. En calculant numériquement v 3 on trouve que la suite extraite pour les indices impairs est croissante. On pourrait aussi considérer le terme avant u 0 qui doit être 0 et le comparer à v ₁ .

2

(3)

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d. Par dénition g(u 2n ) = u 2n+1 , comme les suites convergent et que g est continue en l . On obtient g(l) = l ⁰ . Le raisonnement est identique pour l'autre relation.

e. On peut former l'équation g ◦ g(t) = t dont l est une solution d'après la question précédente. Après réduction au même dénominateur, on obtient

(t ² + t + 1) ²

1 + (t ² + t + 1) + (t ² + t + 1) ² = t ⇔ 0 = t ⁵ + t ⁴ + 2t ³ + t − 1

En développant la relation donnée par l'énoncé, on trouve qu'elle égale à celle que l'on vient de trouver.

f. La deuxième limite l ⁰ vérie la même relation que l . L'équation du dessus admet une seule racine réelle car le facteur du troisième degré est l'équation (E 3 ) du début de l'énoncé.

L'unique racine est donc l = l ⁰ = x 3 ce qui assure la convergence.

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Énoncé

Étude d'une suite de racines d'équations algébriques. 1 Pour p ∈ N ∗ , on considère l'équa- tion

x p + x p−1 + · · · + x 2 + x = 1 (E p ) On considère aussi les fonctions f et g dénies dans R + par :

f (x) = 1

x + 1 g(x) = 1

x 2 + x + 1 1. Étude de la suite des racines.

a. Montrer que l'équation (E p ) admet une unique solution positive. Cette solution sera notée x p .

b. Justier que x p ∈]0, 1] et que x p (1 − x p p ) = 1 − x p . c. Établir que (x p ) p∈ N

est monotone puis convergente.

d. Établir que (x p p ) p∈ N

converge vers 0. En déduire la limite de (x p ) p∈ N

. 2. On dénit la suite (ε p ) p∈N

par la relation suivante valable pour tous les p ∈ N ∗

ε p = 2x p − 1

a. Soit q ∈]0, 1[ xé, montrer la convergence et donner la limite de (nq n ) n∈ N . b. Trouver une formule très simple reliant ε p et x p+1 p .

c. Montrer que

((p + 1) ln(1 + ε p )) p∈ N

→ 0 d. Trouver une suite équivalente simple à (ε p ) p∈N

.

3. Approximation de la racine de (E 2 ) . Dans cette question, p = 2 et x 2 est noté α . a. Simplier f (α) .

b. Montrer que l'intervalle [ 1 2 , 1] est stable par f . c. On considère la suite (u n ) n∈ N dénie par u 0 = 1 et

∀n ∈ N : u n+1 = f (u n )

Montrer que la suite est bien dénie et que pour tout entier n :

|u n+1 − α| ≤ 4

9 |u n − α|

d'après http ://mpsiddl.free.fr

d. En déduire la convergence et la limite de la suite (u n ) n∈ N .

4. Approximation de la racine de (E 3 ) . Dans cette question, p = 3 et x 3 est noté β . a. Former le tableau de variations de g .

b. On considère la suite (v n ) n∈N dénie par v 0 = 1 et

∀n ∈ N : v n+1 = g(v n )

Montrer que la suite est bien dénie et que v n ∈ [0, 1] pour tout entier n . c. Montrer que les deux suites extraites (v 2n ) n∈ N et (v 2n+1 ) n∈ N sont monotones.

Préciser leurs sens de variations et prouver qu'elles sont convergentes. On note l et l 0 leurs limites respectives.

d. Montrer que g(l) = l 0 et g(l 0 ) = l . e. Montrer que l vérie

(l 2 + 1)(l 3 + l 2 + l − 1) = 0

f. Montrer que l = l 0 = β . En déduire la convergence et la limite pour (v n ) n∈ N .

1

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Corrigé

1. a. La fonction continue f p : x → −1 + x + · · · + x p est strictement croissante entre 0 et 1 . Sa valeur en 0 est −1 < 0 , sa valeur en 1 est p − 1 > 0 . Elle s'annule donc exactement une fois en un nombre noté x p ∈]0, 1[ (pour p ≥ 2 ).

b. En multipliant l'équation (E p ) par 1 − x p , on obtient la relation demandée x p (1 − x p p ) = 1 − x p

c. Par dénition de x p : f p+1 (x p ) = x p+1 p > 0 . Comme f p+1 est strictement croisante ceci prouve que x p+1 < x p . La suite (x p ) p∈ N est donc décroissante et minorée par 0 , elle converge. Notons l sa limite.

d. Comme la suite est décroissante, on peut écrire (pour tout p ≥ 2 ) : 0 ≤ x p p ≤ x p 2

Ce qui prouve ( x 2 ∈]0, 1[ et théorème d'encadrement) que (x p p ) p∈ N converge vers 0. En utilisant la relation du b., ontrouve alors que l = 1 − l ce qui entraine que la limite l de x p est 1 2 .

2. a. Question de cours

b. On trouve en remplaçant dans la formule du 1.b. : ε p = x p+1 p c. D'après 1. la suite (ε p ) p∈ N → 0 . On peut en déduire

(p + 1) ln(1 + ε p ) ∼ (p + 1)ε p = (p + 1)x p+1 p et

0 ≤ (p + 1)x p+1 p ≤ (p + 1)x p+1 2

On conclut alors avec la question 2.a. et le théorème d'encadrement.

d. Comme

x p = 1 + ε p

2 et ε p = x p+1 p on peut écrire :

ε p = 1

2 p+1 (1 + ε p ) p+1 = 1

2 p+1 e (p+1) ln(1+ε

)

D'après 2.c., l'exponentielle à droite tend vers 0 donc : (ε p ) p∈ N ∼ ( 1

2 p+1 ) p∈ N

3. a. Par dénition de α : f (α) = α .

b. La fonction f est clairement décroissante et continue donc : f ([ 1

2 , 1]) = [f (1), f ( 1 2 )] = [ 1

2 , 2 3 ] ⊂ [ 1

2 , 1]

c. Comme d'après la question précédente l'intervalle est stable, la suite est bien dénie avec u n ∈ [ 1

2 , 1] pour tous les n . On a vu au début que la racine α était elle aussi dans cet intervalle. On peut donc appliquer l'inégalité des accroissements nis à f entre u n et α . La valeur maximale de la valeur absolue de la dérivée dans l'intervalle est obtenue en 1

2 . Elle vaut ( 2

3 ) 2 On en déduit l'inégalité.

d. L'inégalité de la question précédente et le théorème d'encadrement montrent que (ε p ) p∈ N → α

4. a. La dérivée de g s'annule seulement en − 1 2 , l'étude de son signe montrer que la fonction g est décroissante dans R + .

b. D'après la question précédente :

g([0, 1]) = [g(1), g(0)] = [ 1 3 , 1]

L'intervalle [0, 1] est donc stable par g et toute suite dont le premier terme est dans cet intervalle est bien dénie par récurrence avec g . Toutes ses valeurs restent dans l'intervalle.

c. Les deux suites extraites pour les indices pairs et impairs sont monotones car g ◦ g est croissante comme composée de deux fonctions décroissantes. Comme elles restent dans l'intervalle bornée [0, 1] , elles convergent.

De plus,

v 0 = 1, v 1 = 1

3 , v 2 = 1 1 9 + 1

3 + 1

< 1

On en déduit que la suite extraite pour les indices pairs est décroissante. En calculant numériquement v 3 on trouve que la suite extraite pour les indices impairs est croissante. On pourrait aussi considérer le terme avant u 0 qui doit être 0 et le comparer à v 1 .

Étude d'une suite de racines d'équations algébriques. ¹ Pour p ∈ N ^∗ , on considère l'équa- tion

x ^p + x ^p−1 + · · · + x ² + x = 1 (E p ) On considère aussi les fonctions f et g dénies dans R ⁺ par :

x ² + x + 1 1. Étude de la suite des racines.

b. Justier que x p ∈]0, 1] et que x p (1 − x ^p _p ) = 1 − x p . c. Établir que (x _p ) _p∈ _N

d. Établir que (x ^p _p ) _p∈ _N

converge vers 0. En déduire la limite de (x _p ) _p∈ _N

. 2. On dénit la suite (ε p ) _p∈N

par la relation suivante valable pour tous les p ∈ N ^∗

a. Soit q ∈]0, 1[ xé, montrer la convergence et donner la limite de (nq ⁿ ) n∈ N . b. Trouver une formule très simple reliant ε p et x ^p+1 _p .

→ 0 d. Trouver une suite équivalente simple à (ε p ) _p∈N

3. Approximation de la racine de (E ₂ ) . Dans cette question, p = 2 et x ₂ est noté α . a. Simplier f (α) .

b. Montrer que l'intervalle [ ¹ ₂ , 1] est stable par f . c. On considère la suite (u n ) _n∈ _N dénie par u 0 = 1 et

b. On considère la suite (v n ) _n∈N dénie par v 0 = 1 et

Préciser leurs sens de variations et prouver qu'elles sont convergentes. On note l et l ⁰ leurs limites respectives.

d. Montrer que g(l) = l ⁰ et g(l ⁰ ) = l . e. Montrer que l vérie

(l ² + 1)(l ³ + l ² + l − 1) = 0

f. Montrer que l = l ⁰ = β . En déduire la convergence et la limite pour (v n ) _n∈ _N .

1. a. La fonction continue f _p : x → −1 + x + · · · + x ^p est strictement croissante entre 0 et 1 . Sa valeur en 0 est −1 < 0 , sa valeur en 1 est p − 1 > 0 . Elle s'annule donc exactement une fois en un nombre noté x p ∈]0, 1[ (pour p ≥ 2 ).

b. En multipliant l'équation (E p ) par 1 − x p , on obtient la relation demandée x p (1 − x ^p _p ) = 1 − x p

c. Par dénition de x p : f p+1 (x p ) = x ^p+1 _p > 0 . Comme f p+1 est strictement croisante ceci prouve que x ^p+1 < x p . La suite (x p ) p∈ N est donc décroissante et minorée par 0 , elle converge. Notons l sa limite.

d. Comme la suite est décroissante, on peut écrire (pour tout p ≥ 2 ) : 0 ≤ x ^p _p ≤ x ^p ₂

Ce qui prouve ( x 2 ∈]0, 1[ et théorème d'encadrement) que (x ^p _p ) p∈ N converge vers 0. En utilisant la relation du b., ontrouve alors que l = 1 − l ce qui entraine que la limite l de x _p est ¹ ₂ .

b. On trouve en remplaçant dans la formule du 1.b. : ε p = x ^p+1 _p c. D'après 1. la suite (ε p ) _p∈ _N → 0 . On peut en déduire

(p + 1) ln(1 + ε p ) ∼ (p + 1)ε p = (p + 1)x ^p+1 _p et

0 ≤ (p + 1)x ^p+1 _p ≤ (p + 1)x ^p+1 ₂

2 et ε p = x ^p+1 _p on peut écrire :

2 ^p+1 (1 + ε p ) ^p+1 = 1

2 ^p+1 e (p+1) ln(1+ε

D'après 2.c., l'exponentielle à droite tend vers 0 donc : (ε _p ) _p∈ _N ∼ ( 1

2 ^p+1 ) _p∈ _N

3 ) ² On en déduit l'inégalité.

d. L'inégalité de la question précédente et le théorème d'encadrement montrent que (ε _p ) _p∈ _N → α

4. a. La dérivée de g s'annule seulement en − ¹ ₂ , l'étude de son signe montrer que la fonction g est décroissante dans R + .

v ₀ = 1, v ₁ = 1

3 , v ₂ = 1 1 9 + 1

On en déduit que la suite extraite pour les indices pairs est décroissante. En calculant numériquement v 3 on trouve que la suite extraite pour les indices impairs est croissante. On pourrait aussi considérer le terme avant u 0 qui doit être 0 et le comparer à v ₁ .

d. Par dénition g(u 2n ) = u 2n+1 , comme les suites convergent et que g est continue en l . On obtient g(l) = l ⁰ . Le raisonnement est identique pour l'autre relation.

(t ² + t + 1) ²

1 + (t ² + t + 1) + (t ² + t + 1) ² = t ⇔ 0 = t ⁵ + t ⁴ + 2t ³ + t − 1

f. La deuxième limite l ⁰ vérie la même relation que l . L'équation du dessus admet une seule racine réelle car le facteur du troisième degré est l'équation (E 3 ) du début de l'énoncé.

L'unique racine est donc l = l ⁰ = x 3 ce qui assure la convergence.