SUJET DE CONTROLE

(1)

PREPA GESTION SORBONNE x Cours Particuliers Paris

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SUJET DE CONTROLE

SUJET 1 Exercice 1 : application linéaire

Soit ^f

(

^x^,^y^,^z

) (

⁼ ^y⁺^z⁻^x^,⁻⁵^z⁺³^x⁻²^y^,^x⁻²^y⁺^z

)

1. Quels sont les ensembles de départ et d’arrivée de f ? 2. Justifiez rapidement que f est linéaire.

3. Donnez la définition du noyau d’une application linéaire 4. Calculez le noyau de f

5. Quel est le rang de l’application ? 6. Trouvez une base de son image.

7. L’application est-elle injective, surjective, bijective ?

8. Ecrivez la matrice représentative de l’application (dans la base canonique).

Exercice 2 : diagonalisation de matrice

Soit

⎟

⎟⎟

⎠

⎞

⎜

⎜⎜

⎝

⎛

−

=

7 0 0

20 13 20

10 10 17 M

1. Trouvez les valeurs propres de cette matrice.

2. Vérifiez votre résultat avec les tests classiques (aide : le déterminant vaut -147)

3. Trouvez les vecteurs propres, on prendra les composantes entières telles que la première composante non nulle vaille +1.

4. La matrice est-elle diagonalisable ? Justifiez.

5. Calculez les matrices de la décomposition telles que M =PDP⁻¹ où D est une matrice diagonale. On rangera les valeurs propres par ordre croissant.

Exercice 3 : développement limité

1. Ecrire DL à l’ordre 2 d’une fonction f(x,y) au voisinage de (x₀,y₀) 2. Appliquez la formule à ^f

(

^x^,^y

)

=^Ln⁽^x−^xy⁾ au voisinage de (x,y)=(1,0)

(2)

2 SUJET 2

Exercice 1 : application linéaire

Soit ^f

(

^x^,^y^,^z

) (

⁼ ⁻^y⁻^z⁺^x^,³^x⁺³^y⁺^z^,²^y⁺^x⁺^z

)

3. Donnez la définition du noyau d’une application linéaire.

4. Calculez le noyau de f .

Soit

⎟⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜

⎝

⎛

−

=

5 0 0

26 21 26

13 13 18 M

2. Vérifiez votre résultat avec les tests classiques (aide : le déterminant vaut +200)

1. Ecrire DL à l’ordre 2 d’une fonction f(x,y) au voisinage de (x₀,y₀) 2. Appliquez la formule à ^f

(

^x,^y

)

=^e⁽⁻^x²⁺^y⁾ +^xy au voisinage de

de (x,y)=(0,0)

(3)

3 SUJET 3

Exercice 1 : application linéaire

Soit ^f

(

^x^,^y^,^z

) (

⁼ ^x⁺^y⁺^z^,⁻²^y⁺^x⁻^z^,⁻²^z⁺³^y⁻²^x

)

3. Donnez la définition du noyau d’une application linéaire.

4. Calculez le noyau de f .

Soit

⎟⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜

⎝

⎛

−

=

4 30 30

10 36 30

10 30 24 M

2. Vérifiez votre résultat avec les tests classiques (aide : le déterminant vaut -144)

1. Ecrire DL à l’ordre 2 d’une fonction f(x,y) au voisinage de (x₀,y₀) 2. Appliquez la formule à

( )

y x y xy x

f , 2

= + au voisinage de (x,y)=(1,0)

(4)

4 SUJET 4

Difficulté : ***

Exercice: diagonalisation de matrice

Soit

A =

0 2 1

2 0 1

− 2 − 2 − 3

"

#

$

$ $

%

&

' ' '

2. Vérifiez votre résultat avec les tests classiques