Preparer son entree en seconde en mathematiques - Partie 2 - S PLUOT

Preparer son entree en seconde en mathematiques - Partie 2 - S PLUOT

Correction 1

1. Le triangleABC est inscrit dans le cercleC et son côté [AB]forme un diamètre de ce cercle.

Si un cercle est inscrit dans un cercle et si un de ses côtés est un diamètre alors ce triangle est rectangle et ce côté est son hypoténuse.

Le triangleABC est rectangle enC.

2. Le triangle ABC est rectangle enC.

D’après le théorème de Pythagore, on a l’égalité suiv- ante :

AB²=AC²+BC² 6²=AC²+ 4,8² AC²= 6²−4,8² AC²= 36−23,04 AC²= 12,96

AC= 3,6cm

3. Puisque le point M vérifie la relation AM=1

3·AB, on en déduit la valeur du quotient suivant :

AM AB =1

3

Les pointsA,N,Csont alignés.

Les pointsA,M,B sont alignés.

Les droites(M N)et (BC)sont alignés.

D’après le théorème de Thalès, on a l’égalité suivante de quotients :

AN

AC = AM

AB =M N BC

Par application numérique, on a : AN

3,6 = 1 3

A l’aide du produit en croix, on a : 1×3,6 =AN×3

AN = 3,6 3 AN = 1,2cm Correction 2

1. Dans la configuration de gauche :

Les pointsO,AetCet les pointsO,BetDsont alignés et dans le même ordre.

On remarque que : OA

OC = 6 4,8 =5

4 ; OB OD =5

4

Ainsi : OA OC = OB

OD

D’après la réciproque du théoréme de Thalès, les droites (AB)et(CD)sont parallèles.

2. Dans la configuration de droite :

Les pointsO,AetDet les pointsB,OetCsont alignés dans le même ordre.

On remarque :

OA OC = 5

7,5 =2

3 ; OB OD = 8

12 = 2 3

Ainsi : OA OC = OB

OD.

D’après la réciproque du théorème de Thalès, les droites (AB)et(DC)sont parallèles.

Correction 3

1. Le triangle ABC est rectangle enB.

D’après le théorème de Pythagore, on a l’égalité suiv- ante :

AC²=AB²+BC²

Par application numérique, on a : 5,2²= 4,8²+BC²

27,04 = 23,04 +BC² BC²= 27,04−23,04 BC²= 4

BC= 2

2. a. Les pointsA,C, N sont alignés.

Les pointsA,B,M sont alignés.

Les droites(BC)et (M N)sont parallèles.

D’après le théorème de Thalès, on a l’égalité suivante : AC

AN = AB

AM = BC M N Utilisons l’égalité suivante :

AC

AN = BC M N

Par application numérique, on a : 5,2

AN =2 3 AN×2 = 5,2×3

AN =15,6 2 AN = 7,8

b. De l’égalité des trois quotients obtenue à la question précédente, utilisons l’égalité suivante :

AB

AM = BC M N

Par application numérique, on a : 4,8

AM = 2 3

A l’aide du produit en croix, on écrit : 2×AM= 4,8×3

AM= 14,4 2 AM= 7,2

Correction 4

Le triangleABC est rectangle enA.

On a la relation trigonométrique :

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sinB“= AC BC

Par application numérique : sin 62^o=AC

5 On en déduit :

AC= sin 62^o×5≈4,4cm Le triangleDEF est rectangle enE.

On a la relation trigonométrique : cosF“= EF

DF

Par application numérique : cos 30^o= EF

5

A l’aide d’un produit en croix, on a : EF = cos 30^o×5≈4,3cm

Le triangleIGH est rectangle enH. On a la relation : tanIb= GH

IH tan 50^o= 2

IH Le produit en croix donne :

IH×tan 50^o= 2 On obtient la formule :

IH= 2

tan 50^o ≈1,7cm Correction 5

La correction n’existe pas pour l’exercice 6860 Correction 6

1. La base ABCD de la pyramide est un rectangle ayant pour aire :

AB=AD×DC = 1,60×1,20 = 1,92cm² Ainsi, cette pyramide a pour volume :

V= 1

3×AB×h= 1

3×1,92×2,40 = 1,536m³

2. La baseABCDest un rectangle, ainsi le triangleBCD est un triangle rectangle enC.

Dans le triangle BCD rectangle en C, d’après le théorème de Pythagore, on a la relation :

BD²=BC²+CD² BD²= 1,6²+ 1,2² BD²= 2,56 + 1,44 BD²= 4

BD=√ 4 BD= 2cm

3. a. La base ABCD étant un rectangle, on en déduit que ses diagonales se coupent en leurs milieux. En particulier, le pointH est le milieu du segment[BD]:

HD= 1

2×BD=1 2×2 = 1

[SH]est la hauteur de la pyramide. Ainsi, les droites (SH) et (HD) sont perpendiculaires : le triangle SHDest un triangle rectangle enH.

Dans le triangle SHD rectangle en H, d’après le théorème de Pythagore, on a la relation :

SD²=SH²+HD² SD²= 2,4²+ 1² SD²= 5,76 + 1 SD²= 6,76

SD=√ 6,76 SD= 2,6cm

b. Travaillons dans le plan contenant la face avant. On a :

Les pointsS, E, AetS,F,D sont alignés.

Les droites(AD)et (EF)sont parallèles.

D’après le théorème de Thalès, on a l’égalité des rap- ports suivants :

SE SA = SF

SD = EF AD SF

SD = EF AD

Par application numérique, on a : 1,95

2,6 = EF 1,6

D’après le produit en croix, on a : 2,6×EF = 1,95×1,6

EF = 1,95×1,6 2,6 EF = 1,2m

4. Passant en revue les différences associant d’arêtes pour acheter le moins de tiges de bambou :

4baguettes permettront de constituer les arêtes[SA], [SB],[SC]et [SD].

1 baguette permettra de constituer les deux arêtes [AD]et[CD].

1 baguette permettra de constituer les deux arêtes [AB]et [BD].

il faudra encore une baguette pour constituer l’arête [EF].

On aura donc besoin de 7 tiges de bambou pour con- stituer ce tipi.

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