Probabilit´es et Statistique pour SIC Exercices

Probabilit´es et Statistique pour SIC Exercices

Exercice 1 Combien de mots de passe de 8 symboles peut-on cr´eer avec 66 caract`eres ?

Exercice 2 Dans un pays, les voitures ont des plaques d’immatriculation compos´ees de deux lettres (leur alphabet a 26 caract`eres) suivies de trois chi↵res. Combien de plaques possibles y-a-t-il ?

Exercice 3 Un professeur dispose de 32 livres sur un rayon de sa biblioth`eque. 23 d’entre eux sont des livres de math´ematiques et 9 de physique. Le professeur aimerait ranger ses livres de fa¸con que tous les livres traitant du mˆeme sujet restent group´es. Combien y a-t-il de dispositions possibles ?

Exercice 4 4 Am´ericains, 3 Suisses et 5 Anglais doivent s’asseoir sur un mˆeme banc. Les gens de mˆeme nationalit´e doivent rester ensemble. Combien de dispositions peut-on imaginer ?

Exercice 5 On veut former un comit´e comprenant 4 des 23 personnes d’un groupe. Combien y a-t-il de ces comit´es ?

Exercice 6 Combien de mains de poker existe-t-il ? Le jeu comprend 52 cartes, une main en contient 5.

Exercice 7 Dans un groupe de 10 femmes et 8 hommes, on doit former un comit´e de 3 hommes et 3 femmes. Combien de comit´es di↵´erents peut-on former si :

a) 2 des hommes refusent d’ˆetre ensemble dans le comit´e ? b) 2 des femmes refusent d’ˆetre ensemble dans le comit´e ? c) 1 homme et 1 femme refusent d’ˆetre ensemble dans le comit´e ?

Exercice 8 Un laboratoire de recherche en psychologie du rˆeve dispose de 4 chambres `a deux lits. Trois paires de vrais jumeaux sont ´etudi´ees. On veut placer chaque paire dans une chambre et assigner `a chacun un lit bien d´etermin´e. De combien de mani`eres peut-on organiser l’exp´erience ?

Exercice 9 D´emontrer par le calcul que la construction du triangle de Pascal est correcte, c’est-`a-dire que

C_n^k=C_n^k ₁¹+C_n^k ₁

Exercice 10 n personnes dont A et B se mettent au hasard dans une rang´ee. Combien des mani`eres y-a-t-il d’avoirkpersonnes entreA etB?

Exercice 11 Un d´e est jet´e jusqu’a ce qu’un 6 sorte, ce qui marque la fin de l’exp´erience.

a) Quel est l’ensemble fondamental pour cette exp´erience ?

b) Notons par En l’´ev´enement “l’exp´erience s’arrˆete aun^eme jet”. Quels points de l’ensemble fonda- mental sont contenus dansEn? D´ecrire ([¹1 En)^c.

Exercice 12 On jette deux d´es. On note par E l’ev´enement “la somme des d´es est impaire”, par F l’ev´enement “au moins l’un des d´es montre 1”, et parG“la somme des d´es est 5”. D´ecrire

a)E\F, b)E[F, c) F\G, d)E\F^c, e) E\F\G.

Exercice 13 Trois joueurs,A,BetC, jettent une pi`ece `a tour de rˆole :Ajoue d’abord, puisB, puisC, puisAetc. Le premier qui obtient pile a gagn´e. L’ensemble fondamental⌦de cette exp´erience peut ˆetre d´ecrit comme suit :

S=

⇢ 1,01,001,0001, . . . , 0000· · ·

a) Donner une interpr´etation des points deS.

b) D´ecrire les ´ev´enements suivants en termes de ces points : i) ”A gagne” ;

ii) ”B gagne” ; iii) (A[B)^c.

Exercice 14 npersonnes, dont AetB, se mettent au hasard dans une rang´ee.

a) D´ecrire l’ensemble fondamental associ´e `a cette exp´erience, et en donner le nombre d’´el´ements.

b) Quelle est la probabilit´e qu’il y aitkpersonnes entreAet B (0kn 2) ? c) V´erifier votre r´esultat pourn= 3 en explicitant tous les cas possibles.

Exercice 15 Quelle est la probabilit´e de tirer au moins un 6 lorsqu’on jette un d´e quatre fois ?

Exercice 16 On r´ep`ete n fois le lancer de deux d´es. Calculer la probabilit´e que le six apparaisse au moins une fois. Quelle valeur donner `a npour que cette probabilit´e atteigne 1/2 ?

Exercice 17 Combien de personnes faut-il pour que la probabilit´e qu’au moins deux d’entre elles aient leur anniversaire le mˆeme mois soit au moins 1/2 ? Admettre que tous les mois sont ´equiprobables.

Exercice 18 Un r´ecepteur se bloque si la dur´ee entre les instants de r´eception de deux signaux est inf´erieure au temp mort✓. On sait que les deux signaux atteignent le r´ecepteur dans l’intervalle de temps (0, t), et arrivent ind´ependamment l’un de l’autre et au “hasard”.

a) D´ecrire l’ensemble fondamental⌦associ´e `a cette experience stochastique.

b) Quelle est la probabilit´e que le r´ecepteur se bloque ? c) Simplifier votre r´esultat en admettant que ✓⌧t.

Exercice 19 a) On j`ete une pi`ece n fois, n 2. On note Pn la probabilit´e que des piles successifs n’apparaissent jamais lors desnjets. Montrer que

Pn =1

2Pn 1+1

4Pn 2 n 4.

b) Montrer que limn!1Pn= 0.

c) SoitQn la probabilit´e que la suiteP F P P P F F P n’apparaisse jamais lors de njets. Montrer que limn!1Qn= 0.

Indication : La probabilit´e Qn que la suite P F P P P F F P n’apparaisse jamais lors de n jets est plus petite que la probabilit´eRn que la mˆeme suite n’apparaisse jamais entre le jet num´ero 8iet le jet num´ero 8(i+ 1) 1 o`uiest un entier plus petit ou ´egal `an/8 8.

Exercice 20 On jette un d´e trois fois.

a) D´ecrire l’ensemble fondamental de cette exp´erience.

b) Quelle est la probabilit´e que la somme des d´es soit sup´erieure ou ´egale `a 15 ?

Exercice 21 On jette deux pi`eces ´equilibr´ees. Quelle est la probabilit´e que l’une des deux pi`eces tombe sur pile ?

Exercice 22 En 1654 de M´er´e propose `a Pascal le probl`eme suivant : Est-il plus probable d’obtenir au moins un 6 avec 4 d´es que d’obtenir au moins un double 6 lors de 24 jets de deux d´es ?

Donner la r´eponse `a cette question.

Exercice 23 Soit S la somme des valeurs de trois d´es jet´es simultan´ement. Il y a six configurations di↵´erentes qui permettent d’obtenir 9 ou 10 :

pourS= 9 : (6,2,1), (5,3,1), (5,2,2), (4,4,1), (4,3,2) et (3,3,3), pourS= 10 : (6,3,1), (6,2,2), (5,4,1), (5,3,2), (4,4,2) et (4,3,3).

Peut-on en conclure que

P(S= 9) =P(S= 10)?

Exercice 24 D’une urne contenant 20 boules num´erot´ees de 1 `a 20, on tire sans remplacement 3 des boules. Quelqu’un parie qu’au moins une des boules tir´ees portera un num´ero ´egal ou sup´erieur `a 17.

Quelle est la probabilit´e qu’il gagne ?

Exercice 25 Une urne contient 25 boules, 15 sont rouges et 10 sont vertes. Cinq boules sont tir´ees au hasard, sans remise.

a) Trouver la probabilit´e que la premi`ere, la troisi`eme et la cinqui`eme boule soient rouges et que la deuxi`eme et la quatri`eme soient vertes.

b) Trouver la probabilit´e que la premi`ere, la deuxi`eme et la troisi`eme boule soient rouges et que la quatri`eme et la cinqui`eme soient vertes.

c) Trouver la probabilit´e que la la deuxi`eme et la troisi`eme boule soient rouges et que la premi`ere, la quatri`eme et la cinqui`eme soient vertes.

Exercice 26 Mˆeme exercice que le probl`eme 36 ! ! !

Exercice 27 On consid`ere 3 cartes `a jouer de mˆeme forme. Cependant, les deux faces de la premi`ere carte ont ´et´e color´ees en noir, les deux faces de la deuxi`eme carte en rouge tandis que la troisi`eme porte une face noire et l’autre rouge. On m´elange les trois cartes au fond d’un chapeau, puis une carte tir´ee au hasard en est extraite et plac´ee au sol. Si la face apparente est rouge, quelle est la probabilit´e que l’autre soit noire ?

Exercice 28 Pour d´epister une maladie, on applique un test. Si le patient est e↵ectivement atteint, le test donne un r´esultat positif dans 99% des cas. Mais il se peut aussi que le r´esultat du test soit positif alors que le consultant est en bonne sant´e, et ceci se produit dans 2% des cas. Sachant qu’en moyenne un consultant sur 1000 est atteint de la maladie `a d´epister, calculer la probabilit´e pour qu’un client soit atteint sachant que son test a ´et´e positif. Que penser de ce r´esultat ?

Exercice 29 Les jours peuvent ˆetre ensoleill´es ou nuageux. Le temps du lendemain est le mˆeme que celui d’aujourd’hui avec probabilit´e p, et di↵´erent avec probabilit´e q, o`u p+q = 1. S’il est ensoleill´e aujourd’hui, montrez que la probabilit´esn qu’il soit ensoleill´e len^eme jour suivant satisfait

sn= (p q)sn 1+q; n 1 o`u s0= 1. En d´eduire que

sn =1

2(1 + (p q)ⁿ); n 0.

Exercice 30 Une unit´e de production comprend deux machines automatiques fonctionnant ind´ependamment l’une de l’autre. Chaque machine a la fiabilit´epau cours d’une journ´ee, ce qui signifie que sa probabilit´e de tomber en panne pendant cette p´eriode est ´egale `a 1 p. Dans ce cas, elle sera r´epar´ee pendant la nuit et se retrouvera en ´etat de marche le lendemain. Une seule machine peut ˆetre r´epar´ee `a la fois.

On note Xn = nombre de machines en panne au d´ebut de la n^i`eme journ´ee, n = 1,2, . . .. Calculer les probabilit´es conditionnelles P(Xn+1 = 0|Xn = 0), P(Xn+1 = 1|Xn = 0), P(Xn+1 = 0|Xn = 1) et P(Xn+1= 1|Xn= 1).

Exercice 31 Les pi`eces fabriqu´ees par une usine sont soumises `a un contrˆole, mais le m´ecanisme de contrˆole n’est pas enti`erement fiable. En e↵et, si une pi`ece est bonne, elle est accept´ee avec une probabilit´e de 0.9, par contre si elle est d´efectueuse, elle est refus´ee avec une probabilit´e de 0.8.

a) Si un lot comprend trois pi`eces bonnes et une pi`ece d´efectueuse, quelle est la probabilit´e que ces quatre pi`eces soient accept´ees lors du contrˆole ?

b) Quelle est la probabilit´e qu’il y ait une erreur lors du contrˆole d’une pi`ece si l’on sait qu’il y a en moyenne 20% de pi`eces d´efectueuses dans la production ?

c) Quelle est la probabilit´e qu’une pi`ece accept´ee par le contrˆole soit d´efectueuse (si l’on admet de nouveau qu’il y a en moyenne 20% de pi`eces d´efectueuses dans la production) ?

Exercice 32 Un couple a deux enfants. Quelle est la probabilit´e que les deux soient des filles sachant que l’aˆın´ee en est une ?

Exercice 33 On jette deux d´es ´equilibr´es. Quelle est la probabilit´e qu’au moins l’un d’entre eux montre 6, sachant que les deux r´esultats sont di↵´erents ?

Exercice 34 On choisit trois cartes au hasard et sans remise dans un jeu ordinaire de 52 cartes. Calculer la probabilit´e que la premi`ere carte tir´ee soit un pique, sachant que les deux derni`eres en sont.

Exercice 35 On admet que 5% des hommes et 0,25% des femmes sont daltoniens. On s´electionne une personne daltonienne au hasard. Quelle est la probabilit´e qu’il s’agisse d’un homme ? On admettra que les hommes sont aussi nombreux que les femmes. Si au contraire il y en avait deux fois plus que de femmes, que deviendrait le r´esultat ?

Exercice 36 La couleur des yeux d’une personne est d´etermin´ee par une unique paire de g`enes. Si les deux sont des g`enes yeux bleus, la personne aura les yeux bleus ; si les deux sont des g`enes yeux marrons, la personne aura les yeux marrons ; si l’un est un g`ene oeil bleu et l’autre un g`ene oeil marron, la personne aura les yeux marrons (car le g`ene oeil marron est dominant par rapport au g`ene oeil bleu). Un nouveau-n´e re¸coit ind´ependamment un g`ene oeil de chacun de ses parents et le g`ene qu’il re¸coit d’un de ses parents a autant de chances d’ˆetre l’un des deux g`enes oeil de ce parent. Supposons que Xavier et ses deux parents ont les yeux marrons, mais que la soeur de Xavier a les yeux bleus.

a) Quelle est la probabilit´e que Xavier ait un g`ene oeil bleu ?

b) Si la femme de Xavier a les yeux bleus, quelle est la probabilit´e que leur premier enfant ait les yeux bleus ?

Exercice 37 a) On tire au hasardnboules sans remise d’une urne en contenant N de couleur blanche etM de couleur noire. Donner la fonction de masse de la variable al´eatoireX qui compte le nombre de boules blanches tir´ees. D´emontrer que l’esp´erance deX est N n/(M+N).

Indication: ´ecrire le nombre de boules blanches tir´ees comme la somme deXi, 1iN, o`uXiest ´egal

`

a 1 si la i-`eme boule blanche a ´et´e tir´ee parmi lesnboules, et 0 sinon.

b) Une urne contientN boules blanches et M noires. On pr´el`eve des boules une `a une jusqu’`a ce que la premi`ere boule blanche apparaisse. Si on d´esigne parX le nombre de boules alors pr´elev´ees, quelle est l’esp´erance deX?

Exercice 38 On jette simultan´ement deux d´es `a six faces jusqu’`a l’obtention d’une somme de 5 ou de 7.

a) Le jeu s’est arrˆet´e auji`eme lancer. Quelle est la probabilit´e qu’on ait obtenu une somme de 5 au ji`eme lancer ?

b) Quelle est la probabilit´e de finir de jouer avec une somme de 5 ? c) Quel est le nombre moyens de jets jusqu’`a l’arrˆet du jeu ?

Exercice 39 On jette une pi`ece n fois. Supposons que lors de chaque jet, la probabilit´e d’obtenir pile estp, o`u p2[0,1]. Les r´esultats sont suppos´es ind´ependants.

a) Donner la loi de probabilit´e de la variableX qui compte le nombre de piles obtenus.

b) Donner l’esp´erance et la variance deX.

Exercice 40 a) Un parc contientLlions etT tigres. Un employ´e du parc est charg´e de silloner le parc.

Chaque fois qu’il voit un lion ou un tigre, il note sur un calepin le type d’animal (lion ou tigre) qu’il a vu.

Il s’arrˆete une fois qu’il a not´en animaux pour faire un rapport `a son chef. Quelle est la loi du nombre de lions not´es dans le rapport ? Donner la probabilit´e quek lions aient ´et´e not´es.

b) Dans un parc concurrent, une autre stat´egie est adopt´ee : chaque fois que l’employ´e (courageux !) voit un lion ou un tigre, il le capture. Apr`es avoir captur´en animaux, l’employ´e fait un rapport `a son chef. Quelle est la loi du nombre de lions not´es dans le rapport ? Donner la probabilit´e queklions aient

´et´e captur´es.

Exercice 41 42800 mariages ont ´et´e c´el´ebr´es en Suisse en 2010. En expliquant vos hypoth`eses et en donnant les lois de probabilit´es correspondantes, calculer la probabilit´e que pour exactement 2 de ces couples :

a) les deux ´epoux soient n´es un 1er janvier,

b) les deux ´epoux aient le mˆeme jour d’anniversaire.

Exercice 42 Un assistant de math´ematiques essaie d´esesp´er´ement de passer son permis de conduire. On suppose qu’il a une probabilit´ep2(0,1] de r´eussir son permis `a chaque essai, et on noteT le nombre d’essais n´ecessaires pour qu’il r´eussisse son permis. Donner la fonction de masse deT, sa moyenne et sa variance.

Exercice 43 La fonction de masse d’une variable al´eatoire X est donn´ee par

P(X =i) =c

i

i!, i= 0,1,2, . . . , o`u est un r´eel positif.

a) Calculerc et reconnaˆıtre la loi deX a) CalculerP(X = 0).

b) CalculerP(X >2).

c) Donner l’esp´erance et la variance deX.

Exercice 44 Soient X et Z deux variables `a valeurs enti`eres 0. On suppose que : a) Z est une variable de Poisson de param`etre .

b) X Z et :

8n 0 , 8kn , P{X =k|Z=n}=C_n^kp^k(1 p)^{(n k)}

(autrement dit : la loi conditionnelle deX sachant queZ=n est binomiale de param`etresnetp, pour un 0< p <1 fix´e).

Prouver queX etY =Z X sont deux variables de Poisson ind´ependantes, et donner leurs param`etres respectifs.

Exercice 45 Calculer les deux premiers moments d’une variable al´eatoireXdistribu´ee g´eom´etriquement (param`etrep) en utilisant sa fonction g´en´eratrice des moments.

Exercice 46 On consid`ere le jeu suivant, qui peut ˆetre jou´e autant de fois que voulu. Chaque tour est ind´ependant et `a chaque fois, la probabilit´e de gagner estp. A chaque tour, le joueur parie une certaine quantit´e x, quelconque. En cas de r´eussite, le joueur r´ecup`ere le double de sa mise. En cas d’´echec, le joueur perd sa mise. Arnaud applique une strat´egie simple : il joue tant qu’il n’a pas gagn´e. Au premier tour, il parie 100CHF. A chaque tour perdu, il parie le double de sa mise au tour pr´ec´edent. D`es qu’il a gagn´e une fois, il s’arrˆete.

a) Quelle est la quantit´e mis´ee par Arnaud au tourn?

b) Quelle est la loi du nombre de tours jou´es par Arnaud jusqu’au premier succ`es ? c) Montrer que la valeur moyenne de la mise d’Arnaud au tour o`u il s’arrˆete est

⇢ 100p

2(1 p) sip >1/2 1 sip1/2 En donner une interpr´etation.

Exercice 47 Un livre de 350 pages contient 450 erreurs d’impression r´eparties au hasard. Calculer de deux fa¸cons di↵´erentes la probabilit´e pour qu’il y ait au moins trois erreurs dans une page d´etermin´ee.

Exercice 48 Montrer que si X et Y sont deux variables ind´ependantes suivant les lois de Poisson de param`etres respectifs 1et 2alorsZ=X+Y suit la loi de Poisson de param`etre 1+ 2 :

a) Par calcul direct de la fonction de masse.

b) En utilisant la fonction g´en´eratrice des moments.

Exercice 49 On suppose que la taille, en centim`etres, d’un homme ˆag´e de 25 ans est une variable al´eatoire normale de param`etres m = 175 et ² = 36. Quelle est la pourcentage d’hommes de 25 ans ayant une taille sup´erieure `a 185 cm ? Parmi les hommes mesurant plus de 180 cm, quel pourcentage d’entre eux d´epassent 192 cm ?

Exercice 50 Le nombre de kilom`etres couverts par une batterie de voiture avant d´efaillance est distribu´e exponentiellement et sa valeur moyenne est de 10000 kilom`etres. Une personne souhaite se lancer dans un voyage de 5000 kilom`etres. Avec quelle probabilit´e terminera-t-elle son voyage sans avarie de batterie ? Exercice 51 Pour fonctionner, un syst`eme utilise une cellule interchangeable. On dispose de la pi`ece originale et d’une cellule de rechange. Si le syst`eme a une dur´ee de vie al´eatoire X et si sa densit´e est donn´ee (en mois) par :

f(x) =

⇢ cxe ^x/2 x >0

0 x0

quelle est la probabilit´e que le syst`eme fonctionne pendant au moins 5 mois ?

Exercice 52 La vitesse d’une mol´ecule au sein d’un gaz homog`ene en ´etat d’´equilibre est une variable al´eatoire, dont la fonction de densit´e est donn´ee par

f(x) =

⇢ ax²e ^bx2 x 0

0 x <0

o`u b =m/2kT et k, T, msont respectivement la constante de Boltzmann, la temp´erature absolue et la masse de la mol´ecule. ´Evalueraen fonction deb.

Exercice 53 SiX admet la densit´e de probabilit´efX(x) =_⇡¹_1+x¹2, on dit queXest une variable al´eatoire de Cauchy. Montrer queX n’admet pas d’esp´erance math´ematique.

Exercice 54 SoitX une variable al´eatoire de loi gamma, de densit´e

f(x) =

⇢ ^↵

(↵)e ^xx^{↵ 1} si x 0

0 si x <0,

pour↵>0, >0 et o`u ( ↵) =R1

0 e ^yy^{↵ 1}dy est la fonction gamma.

a) En employant une int´egration par parties, montrer que (↵) = (↵ 1) (↵ 1). Pouvez-vous trouver une expression pour (n) quand nest un nombre entier ?

b) Montrer que l’esp´erance deX est ↵/ .

Exercice 55 Les pi`eces d’une voiture sont souvent copi´ees, et vendues comme des pi`eces originales. On veut remplacer certaines pi`eces d’une voiture. Avec probabilit´e 1/4 on ach`ete une pi`ece pirate, et avec probabilit´e 3/4 on ach`ete une pi`ece originale. La dur´ee de vie est une variable al´eatoire exponentielle de param`etre 5 pour une pi`ece pirate, et de param`etre 2 pour une pi`ece originale. AppelonsT la dur´ee de vie de la pi`ece que l’on ach`ete. Supposons que la pi`ece ait surv´ecu jusqu’au tempstapr`es son installation.

Quelle est la probabilit´e⇡(t) que cette pi`ece soit pirate ? Trouver la limite de⇡(t) lorsquet! 1. Exercice 56 Soit X une variable normale centr´ee r´eduite et Y = e^X (on dit que Y est une variable lognormale). Calculer la moyenne et la variance deY.

Indication :on donne la fonction g´en´eratrice des moments deX :MX(t) = exp(t²/2),t2R.

Exercice 57 On dispose de deux composants ´electroniques dont les dur´ees de vie (temps avant la panne), exprim´ees en ann´ees, sont mod´elis´ees par des variables al´eatoiresX etY ind´ependantes. On suppose que la dur´ee de vie moyenne du premier composant est un an, alors que le deuxi`eme composant a une dur´ee de vie moyenne de 6 mois.

a) Donner les lois de X et Y.

b) Calculer leurs fonctions de r´epartitionFX et FY.

On consid`ere deux montages possibles pour ces composants : en s´erie ou en parall`ele. Le syst`eme mont´e en s´erie tombe en panne d`es que l’un des composants tombe en panne. Le syst`eme mont´e en parall`ele tombe en panne lorsque les deux composants sont tomb´es en panne. On noteS la dur´ee de vie du syst`eme en s´erie etT celle du syst`eme en parall`ele.

c) Calculer la fonction de r´epartition FT deT.

d) Calculer la fonction de r´epartitionFS deS.

e) Calculer la probabilit´e que le composant de dur´ee de vieXfonctionne toujours `a l’instantx(x >0) sachant que le syst`eme en s´erie est tomb´e en panne avant cet instant.

f) Sachant que le composant de dur´ee de vie X est tomb´e en panne avant l’instant x, quelle est la probabilit´e que le syst`eme en parall`ele fonctionne toujours `a un instantt(avect > x) ?

Exercice 58 SoientX1, . . . , Xn des variables al´eatoires exponentielles ind´ependantes de param`etre com- mun . Calculer la fonction de r´epartition de min(X1, . . . , Xn) et reconnaˆıtre cette distribution.

Exercice 59 Si X est une variable al´eatoire exponentielle de param`etre = 1, calculer la densit´e de la variable al´eatoireY d´efinie parY = lnX.

Exercice 60 SoitX une variable al´eatoire normale d’esp´erance nulle et de variance 1. Calculer la densit´e de la loi deY =e^X (on dit queY est une variable lognormale).

Exercice 61 Soient X et Y deux variables al´eatoires avec une densit´e conjointef(x, y). Calculer la loi deX et de Y dans les cas suivants et d´eterminer dans chaque cas siX etY sont id´ependantes :

a)f(x, y) =xe ^x(1+y)pour x, y 0, etf(x, y) = 0 sinon.

b)f(x, y) = 60xy² pourx, y 0 etx+y1, etf(x, y) = 0 sinon.

Exercice 62 Donner une expression pour la fonction de r´epartition et pour la densit´e du maximum Z puis du minimum ˜Z de deux variables al´eatoires continues ind´ependantesX etY .

Exercice 63 SoitZ=X+Y o`uX et Y sont des variables exponentielles ind´ependantes de param`etres

1et 2.

a) Donner la fonction de r´epartition deZ. b) Calculer sa fonction g´en´eratrice des moments.

c) La fonction g´en´eratrice des moments d’une variable al´eatoireGde loi gamma de param`etres↵, est donn´ee par :

MG(t) = (

t)^↵, t < .

D´eduire du b) sous quelle condition sur 1 et 2, la variable Z est-elle de loi Gamma et quels en sont alors les param`etres ?

Exercice 64 Soit (X, Y) un vecteur al´eatoire de densit´e de probabilit´e jointe : h(x, y) =

⇢ 1/⇡ six²+y²1 0 sinon .

a) Calculer les densit´es marginales f etg deX et deY. X et Y sont-elles ind´ependantes ? b) Trouver Cov(X, Y)sans calcul.

Exercice 65 On lance deux d´es ´equilibr´es. On noteX1 (resp.X2) le plus grand (resp. le plus petit) des deux r´esultats. Donner les fonction de masse deX1et de X2 et les tracer.

Exercice 66 Un programme consiste en deux modules ind´ependants. Le nombre d’erreurs X1 dans le premier module a la fonction de masseP1et le nombre d’erreursX2dans le deuxi`eme module a la fonction de masseP2o`u

x 0 1 2 3

P1(x) 0.5 0.2 0.2 0.1 P2(x) 0.7 0.2 0.1 0 a) V´erifier queP1et P2 sont bien des fonctions de masse.

b) Tracer les fonctions de r´epartition deX1et X2.

c) Calculer la fonction de masse deY =X1+X2, le nombre total d’erreurs dans le programme.

d) Tracer sa fonction de r´epartition.

Exercice 67 Les variables al´eatoiresX etY sont telles queX est de moyenne 1 et de variance 4,Y est de moyenne 2 et de variance 9, et corr(X, Y) = 1/3. Quelle est la variance de 3X 2Y + 1 ? Quelle est la covariance deX+ 2Y avecX Y ? SiZ est une autre variable al´eatoire v´erifiant E(3X 2Y +Z) = 0, quelle est la moyenne deZ?

Exercice 68 Soient X1 et X2 deux variables al´eatoires ind´ependantes avec distribution binomiale de param`etresnet ⇡. Quelle est la variance deX1 X2? SiX1, . . . , Xn sont des observations issues d’une loi binomiale (n,⇡), quelle est la varaince de leur sommeS=X1+· · ·+Xn?

Exercice 69 SoitXetY deux variables al´eatoires ind´ependantes, la premi`ere avec moyenne 2 et variance 3, la seconde avec moyenne 4 et variance 5.

a) Quelle est la moyenne de 5X 3Y + 9 ? Quelle est la variance de 3Y 2X?

b) Supposant queX et Y sont de mˆeme variance ², siX+Y est de variance 96 et X Y de variance 64, que vaut la corr´elation corr(X, Y) ?

Exercice 70 On lance un d´e ´equilibr´enfois. SoitX1le nombre total de 1 obtenus pendant lesnlanc´es, etX2le nombre total de 2.

a) Quelles sont les distributions deX1 etX2? Pourquoi ? b) Quelles sont les variances deX1 et X2?

c) On pose la variable al´eatoireU =X1+X2. Que repr´esente-t-elle ? En consid´erant la distribution de la variable al´eatoireU et de l`a obtenant sa variance, d´eduire que le coefficient de corr´elation deX1

avecX2est ⇢= 1/5.

d) Quelle est la variance deV =X1 X2, et quelle est sa corr´elation avecU?

Exercice 71 On suppose queX etY sont des variables al´eatoires ind´ependantes suivant chacune la loi uniforme sur [0,1]. Montrer queZ=X+Y admet pour densit´e

fZ(z) = 8<

:

zsi 0z1 2 z si 1z2 0 sinon

.

Exercice 72 SoitZ le total des points obtenus `a pile ou face, avec 0 le gain pour pile et 1 pour face, et en lan¸cant ind´ependamment un d´e ´equilibr´e, dont la face indique le nombre de points obtenus. Donner la fonction de densit´e de Z et l’esp´erance conditionnelle E(Z |X = x), o`u X repr´esente le r´esultat de pile ou face. Calculer ´egalement la variance conditionnelle var(Z | X =x) et v´erifier que les r´esultats concordent avec le th´eor`eme 167.

Exercice 73 Soit X et Y des variables al´eatoires Bernoulli et g´eom´etrique ind´ependantes. Trouver la fonction de densit´e deZ=X+Y et calculer les esp´erances conditionnelles deZ sachantX =xet deZ sachantY =y.

Exercice 74 Un programme informatique est compos´e de trois sections : une section d’initialisation A, une section de calcul B compos´ee de 100 cycles de calcul identiques et ind´ependants, et une section finale C. On a enregistr´e les temps de calcul du programme pour chacune des trois sections. Le tableau suivant r´esume les temps de calcul obtenus.

Section Temps moyen (ms) D´eviation standard (ms)

Initialisation A 5.5 2.5

Calcul B (compos´e de 100 cycles) 3.4 2.6

Finalisation C 4.5 1.3

Tous les temps sont ind´ependants except´es ceux des sections A et C dont la corr´elation vaut 0.2.

a) Calculer cov(A, C).

b) Calculer la moyenne et la variance du temps d’ex´ecution totalT du programme.

c) Les temps des sections A et C sont normalement distribu´es. Bien que le temps de calcul d’un cycle de la section B ne soit pas normalement distribu´e, expliquer pourquoi la distribution du temps total de la section B (qui comporte 100 cycles) peut ˆetre approxim´ee par une loi normale et pr´eciser les param`etres de cette distribution.

d) Calculer la proportion des cas pour lesquels le programme prend i) moins de 10 ms,

ii) plus de 20 ms.

Exercice 75 Un professeur sait par exp´erience que la note de test d’un ´etudiant se pr´esentant `a un examen final est une variable al´eatoire d’esp´erance 75.

a) Donner une borne sup´erieure `a la probabilit´e que la note de test d’un ´etudiant d´epasse 85.

Supposons maintenant que le professeur sache en plus que la variance de la note de test d’un ´etudiant est 25.

b) Que peut-on dire de la probabilit´e qu’un ´etudiant obtienne une note comprise entre 65 et 85 ? c) Combien faudrait-il qu’il se pr´esente d’´etudiants `a cet examen pour assurer, avec une probabilit´e d’au moins 0,9, que la moyenne de la classe soit de 75 plus ou moins 5 ? Ne pas utiliser le th´eor`eme central limite.

d) Utiliser le th´eor`eme central limite pour r´esoudre la partie c).

Exercice 76 On consid`erenvariables al´eatoires r´eellesX1, X2, . . . , Xn, ind´ependantes et identiquement distribu´ees, ayant pour fonction de densit´e :

f(x) = 8<

:

0 si x <0

↵xsi 0x✓ 0 si x >✓ (✓est un param`etre r´eel>0 ).

a) D´eterminer la valeur de↵pour laquellef✓ est bien une fonction de densit´e.

b) Donner la fonction de r´epartition FMn du maximumMn des variables X1, X2, . . . , Xn et calculer ses deux premiers moments.

c) Montrer que Mn converge en probabilit´e vers ✓.

Exercice 77 On arrondit 50 nombres `a l’entier le plus proche et on e↵ectue la somme. Si les erreurs d’arrondi individuelles sont distribu´ees uniform´ement sur ( 0,5, 0,5), quelle est la probabilit´e que la somme obtenue ait un ´ecart de plus de 3 par rapport `a la somme exacte ?

Exercice 78 On a 100 ampoules dont les dur´ees de vie sont des variables al´eatoires ind´ependantes exponentielles de moyenne 5 heures. Si l’on allume une ampoule `a la fois et que chaque ampoule grill´ee est instantan´ement remplac´ee par une neuve, qu’elle est la probabilit´e qu’il reste encore au moins une ampoule intacte apr`es 525 heures ?

Exercice 79 Un local doit ˆetre ´eclair´e en permanence ; lorsque l’ampoule tombe en panne, elle est imm´ediatement remplac´ee par une nouvelle ampoule. Il en existe de deux qualit´es : une qualit´e A de dur´ee de vie (en heure) exponentielle de param`etre A = 0.01 et une qualit´e B de dur´ee de vie (en heures) exponentielle de param`etre B= 0.02. On a stock´e 40 ampoules de qualit´esAet 60 de qualit´eB.

Quelle est la probabilit´e que cette r´eserve soit suffisante pour une illumination de 6500 heures du local ? Exercice 80 Quelle est la probabilit´e qu’un d´e ´equilibr´e jet´e 120 fois produise moins de 16 fois le nombre six ?

Exercice 81 Une pi`ece est lanc´ee 500 fois. Quelle est la probabilit´e pour que le nombre de faces di↵`ere de 250 d’au plus 10 ?

Exercice 82 SoitX une variable al´eatoire distribu´ee uniform´ement dans l’intervalle (0,1), i.e. :X prend ses valeurs dans (0,1) etP{↵< X < }= ↵, si 0↵< 1.

a) On poseY = lnX. Calculer l’esp´erance deY et la variance deY.

b) Si X1, . . . , X100 sont 100 variables ind´ependantes de mˆeme loi que X et si Z = X1X2. . . X100, donner une approximation deP{Z <10 ⁴⁰}.Indication : passer au logarithme et utiliser a).

Exercice 83 Expliquer bri`evement les termes ^⌧robuste et ^⌧mesure de localisation dans l’´enonc´e

⌧la m´ediane est une mesure de localisation robuste .

Exercice 84 D´efinir la corr´elation empirique pour un ´echantillon de n paires d’observations (xi, yi), i= 1, . . . , n. Esquisser les types de nuages de points dexetyauxquels on s’attend lorsque la corr´elation empirique vaut 1, 0 et 1.

Exercice 85 SoientX1, . . . , Xn des observations avec moyenne empirique ¯X et variance empiriques²= 0. Laquelle (lesquelles ?) des affirmations suivantes est-elle correcte ? Justifier.

a) La taille de l’´echantillon est trop petite.

b) Toutes les observations sont ´egales.

c) ¯X= 0.

d) Les observations sont normalement distribu´ees.

Exercice 86 Quelles affirmations ci-apr`es s’appliquent `a la corr´elation empiriquerXY? Justifier.

a) D´epend des unit´es dans lesquelles sont exprim´eesX etY. b) Mesure l’association des variablesX et Y.

c) Est comprise entre 1 et 1.

d) Ne peut jamais ˆetreexactement z´ero.

Exercice 87 Lesquelles des affirmations suivantes s’appliquent `a la covariance empiriquesXY? Justifier.

a) Mesure l’association des variablesX et Y b) Est comprise entre 1 et 1.

c) Ne peut jamais ˆetreexactement z´ero.

d) D´epend des unit´es dans lesquelles sont exprim´eesX etY.

Exercice 88 On a pes´e dix pommes cueillies al´eatoirement sur un arbre, et on donne leur poids en grammes ci-dessous.

121.9 164.4 167.3 170.1 178.6 99.2 96.4 187.1 144.6 172.9 a) Obtenir un intervalle de confiance `a 90% pour le poids moyen µd’une pomme.

b) Expliquer ce qu’on entend par^⌧ intervalle de confiance `a 90% dans le point pr´ec´edent.

Exercice 89 Lors d’un test, on a demand´e `a 120 personnes qui ´etait Jean-Jacques Rousseau, et 12 d’entre elles ont r´epondu qu’il ´etait plongeur. Estimer la proportion de la population qui a donn´e une mauvaise r´eponse. Obtenir un intervalle de confiance `a 95% pour cette proportion. (Question subsidiaire : qui ´etait vraiment Jean-Jacques Rousseau ?)

Exercice 90 Une entreprise analyse la dur´ee des conversations t´el´ephoniques de ses employ´es de bureau.

Neuf conversations cons´ecutives avaient pour dur´ee, en minutes :

10.3, 9.4, 9.9, 7.5, 11.7, 3.4, 7.8, 11.0, 10.0.

a) Calculer la moyenne empirique ¯x et la variance empirique s² de ces observations. Quelles sont les unit´es de ¯xet des²?

b) Si on ajuste une distribution normale `a ces observations, quelle est la probabilit´e que qu’une conver- sation t´el´ephonique dure plus de 10 minutes ?

c) Tester au niveau 5% si la dur´ee moyenne des conversations t´el´ephoniques ´egale huit minutes contre son alternative qu’elle ne dure pas huit minutes.

Exercice 91 On e↵ectue 25 mesures d’une constante physique m dans un laboratoire, en supposant que ces mesures suivent une loi normale N(m; ²) de variance ² connue. A l’issue de ces 25 mesures, l’intervalle de confiance `a 90% obtenu pour m est : [6,04; 6,18]. Combien de mesures suppl´ementaires doit-on e↵ectuer si l’on veut :

a) diminuer de moiti´e la longueur de l’intervalle de confiance `a 90% pourm? b) obtenir un intervalle de confiance `a 95% pourmayant la mˆeme longueur ?

Exercice 92 On observe les donn´ees x1, . . . , x6, distribu´ees selon la loi N(m1; ²₁), et y1, . . . , y12 dis- tribu´ees selon la loiN(m2; ²₂) (m1,m2, ₁²et ₂²sont inconnus, et les variables sont suppos´ees ind´ependantes dans leur ensemble). Pour le premier ´echantillon, les moyenne et variance empirique sont de : ˆmx =

1 6

P6

k=1xk = 49,2 et ˆ²_x=¹₅P6

k=1(xk mˆx)²= 2,8, tandis que pour le deuxi`eme ´echantillon on obtient : ˆ

my= 48,4 et ˆ_y²= 3,04.

a) Construire des intervalles de confiance `a 95% pourm1 et pourm2.

b) On dispose `a pr´esent de plus d’information qu’au point a) : les variances <sub>1</sub><sup>2</sup>et <sup>2</sup><sub>2</sub> sont maintenant suppos´ees connues, de valeurs respectives 2,5 et 3. Donner de nouveaux intervalles de confiance `a 95%

pourm1 etm2.

c) En supposant toujours que ₁²= 2,5 et ₂²= 3, donner la distribution de la di↵´erence ( ˆmX mˆY) des moyennes empiriques de chaque ´echantillon, puis construire un intervalle de confiance `a 90% pour (m1 m2).

Exercice 93 Les poids en grammes de 1000 pots de confiture sortis successivement d’une machine `a conditionner ont ´et´e les suivants (les r´esultats sont donn´es par classes de longueur 2, l’origine de la 1`ere classe ´etant 2000 et l’extr´emit´e de la derni`ere 2024) :

classe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

nombre de pots 9 21 58 131 204 213 185 110 50 16 3 0 On admet que les poidsX des pots sont ind´ependants de loiN(m; ²).

a) Donner une estimation demet ².

b) Donner des intervalles de confiance de niveau 95% et 99% pourm.

Exercice 94 Une ´etude e↵ectu´ee sur 300 employ´es d’une entreprise a r´ev´el´e que le nombre moyen,X, de caf´es bus annuellement `a la caf´et´eria de l’entreprise par un employ´e suit une loi normale de moyenne 500 et d’´ecart-type 100. Donner un intervalle de confiance `a 95% de la moyenne et de la variance deX. Exercice 95 Une entreprise souhaite recruter un ing´enieur informaticien mais n’a pas encore d´ecid´e quel salaire annuel proposer pour l’embauche. Ne voulant pas proposer un salaire trop ´eloign´e des salaires moyens propos´es dans les autres entreprises, le recruteur d´ecide d’interroger 1000 ing´enieurs sur leurs salaires annuels. Il ressort de l’enquˆete que le salaire moyen des 1000 ing´enieurs est de 48000 CHF avec un ´ecart-type de 12000 CHF.

a) Donner l’intervalle de confiance au seuil 90% du salaire moyen.

b) Est-il raisonnable de dire que grosso-modo le salaire moyen d’un ing´enieur est de 50000 CHF ?

Exercice 96 On observe un ´echantillon y1, . . . , yn d’une distribution Gamma(3,✓) de densit´e f(y) =1

2✓e ^✓y(✓y)² y >0.

D´eterminer les estimateurs du maximum de vraisemblance de✓.

Exercice 97 Donner l’estimateur de vraisemblance d’une distribution de Poisson (2✓) `a partir d’un

´echantillonz1, . . . , zm.

Exercice 98 Dans la population des m´enages d’un pays lointain on consid`ere le montant des ´economies mensuellesX (exprim´ees en milliers de maravedis) qui poss`ede la distribution de densit´e

f(x) :=k²xe ^kx1[0,+1](x) x2R,

o`u le param`etre k est inconnu. On pr´el`eve un ´echantillon de 400 m´enages et on a calcul´e la moyenne

¯ x= 2.

a) Estimerk en utilisant la m´ethode de maximum de vraisemblance.

b) En donner un intervalle de confiance au seuil 95%.

c) Quel est le pourcentage des familles qui ´economisent moins de 1000 maravedis par mois (on oublie l’erreur d’estimation dek) ?

Exercice 99 Consid´erons un disqueDde centre Oconnu et de rayonR inconnu.

a) On choisit un point xuniform´ement dansD. Ceci signifie que siAest un sous-ensemble de Dde surface s(A), alors : P{x 2 A} = s(A)/(⇡R²). Soit ⇢ la distance de x`a O. Pour r 0, que vaut la probabilit´eP{⇢r}? En d´eduire la densit´e de la variable al´eatoire ⇢.

b) On choisit maintenantnpoints ind´ependamment et uniform´ement dansD, en notant⇢1,⇢2, . . . ,⇢n

leurs distances au centreO. Donner l’estimateur du maximum de vraisemblance deRcomme fonction de

⇢1,⇢2, . . . ,⇢n. Calculer le biais de cet estimateur et donner ensuite un estimateur sans biais deR.

Exercice 100 SoitX1, . . . , Xn un ´echantillon al´eatoire issu de la loi uniformeU(0, b). Trouver l’estima- teur de maximum de vraisemblance deb.

Exercice 101 On consid`ere unn ´echantillonX1, . . . , Xnde loipU[0, a] + (1 p)U[0, b], i.e. queXisuit la loi uniforme sur [0, a] avec la probabilit´e pet la loi uniforme sur [0, b] avec la probabilit´e 1 p. On supposea < bavecaetb fix´es et connus.

a) D´eterminer la fonction de r´epartition et la densit´e deX1.

b) Consid´erons Na la variable al´eatoire ´egale au nombre d’individusXi compris entre 0 eta. Quelle est la loi deNa? En d´eduire son esp´erance et sa variance.

c) D´eterminer l’estimateur de maximum de vraisemblance de p.

Exercice 102 On observe (X1, . . . , Xn),n-´echantillon de la loi uniforme sur [a, b], de moyenne th´eorique

a+b

2 . Quelle est l’erreur quadratique E{(X ^a+b₂ )²}de la moyenne empirique ?

Exercice 103 On observe le temps d’attente denpersonnes `a un feu rouge, temps not´est1, . . . , tn. On fait l’hypoth`ese que les temps d’attente sont ind´ependants et de mˆeme loi uniforme U[0,✓]. La dur´ee d’attente maximale `a ce feu rouge est donc✓, param`etre inconnu et strictement positif.

a) Monter que✓1= 2 ¯T o`uT = _n¹PN

i=1Tiest un estimateur sans biais de✓et que sa variance converge vers 0 quandn! 1.

b) Calculer la fonction de r´epartition et la densit´e de la variable al´eatoire Mn = maxⁿ_i=1Ti. Calculer son esp´erance et sa variance.

c) En d´eduire un deuxi`eme estimateur sans biais✓2de✓. Montrer que sa variance converge ´egalement vers 0 quandn! 1.

d) Lequel des deux estimateurs✓1 et✓2 choisiriez-vous pour estimer✓? e) Montrer que Mn et ✓2convergent en probabilit´e vers ✓.

Exercice 104 La dur´eeT s´eparant deux arriv´ees successives de requˆetes `a un serveur suit une loi expo- nentielle de param`etre✓et de densit´e :

f(t|✓) =✓e ^✓t pourt >0.

On suppose que le param`etre ✓ est stochastique et suit une loi exponentielle de param`etre connu, de densit´e

g(✓) = e ^✓

La densit´eg(✓) repr´esente donc la densit´e a priori sur le param`etre✓.

a) Montrer que la densit´e a posteriori de✓ est proportionnelle `a✓e ^{✓(t+ )}.

b) On observe un ´echantillon de ndur´eest1, . . . , tn. D´eterminer `a partir des observations ti les esti- mateurs du maximum a posteriori de✓.

Exercice 105 Une entreprise produit des composants ´electroniques. Le responsable de la chaˆıne de production affirme que seul 5% des composants produits sont d´efectueux. Un inspecteur de qualit´e af- firme quant `a lui que la proportion de composants d´efectueux est plus ´elev´ee et l’estime `a 10%. Afin de d´eterminer lequel des deux est le plus pr`es de la r´ealit´e, un ´echantillon de 20 composants est pr´elev´e al´eatoirement et test´e. Le test r´ev`ele 3 composants d´efectueux.

On se place dans un cadre bay´esien. On notepla variable al´eatoire ´egale `a la probabilit´e qu’un compo- sant soit d´efectueux et X la variable al´eatoire ´egale au nombre de composants d´efectueux parmi les 20 composants. En l’absence d’information suppl´ementaires, on suppose a priori que les taux de d´efaillance de 5% et 10% sont ´equiprobables.

a) Traduire l’´enonc´e en termes probabilistes surpetX. b) Calculer la probabilit´e marginale queX = 3.

c) Calculer la fonction de masse a posteriori de pet interpr´eter le r´esultat.

d) Calculer la moyenne a posteriori depet sa variance a posteriori.

e) Conclure.

Probabilit´es et Statistique pour SIC Probl`emes

Probl`eme 1 Un mot de passe est consitu´e de six lettres, sans tenir compte de leur casse. Combien de mots de passe existe-il ? Combien de mots de passe ne contiennent que des lettres distinctes ?

Probl`eme 2 Pour constituer une ´equipe de football (11 joueurs), on a le choix entre 20 postulants. En supposant que chaque joueur est polyvalent (il peut jouer `a tous les postes), combien peut-on constituer d’´equipes diff´erentes ? Si parmi les 20 postulants, 17 sont joueurs de champ et 3 sont gardiens, combien d’´equipes distinctes peut-on alors constituer ?

Probl`eme 3 Combien de nombres de 3 chiffres distincts peut-on former `a l’aide des six chiffres 2, 3, 5, 6, 7, 9 ? Combien de ces nombres sont :

a) inf´erieurs `a 500 ? b) impairs ? c) pairs ?

d) multiples de 5 ?

Probl`eme 4 Six serveurs sont connect´es par une ligne de communication. A chaque instant, un serveur donn´e est soit prˆet `a transmettre, soit d´ej`a occup´e.

a) Combien d’´etats du syst`eme form´e des six serveurs y a-t-il ?

b) Combien y a-t-il de possibilit´es que 3 serveurs exactement soient prˆets `a transmettre `a un instant donn´e ?

Probl`eme 5 Combien de fa¸cons y-a-t-il de mettre 4 tours sur un ´echiquier de sorte qu’aucune tour n’en menace une autre ?

Probl`eme 6 On souhaite souder 8 composants ´electroniques sur un circuit imprim´e, 4 composants du type A et 4 composants du type B. Le circuit imprim´e ne dispose que de 8 places libres align´ees. Combien y-a-t-il de fa¸cons de proc´eder si :

a) Il n’y a pas d’autres restrictions.

b) Les composants A doivent rester ensemble et les composants B ´egalement.

c) Seuls les composants A doivent rester ensemble.

d) Les composants A et B doivent ˆetre altern´es.

Probl`eme 7 Raymond a oubli´e son mot de passe pour acc´eder `a sa messagerie ´electronique. Il se souvient n´eanmoins que son mot de passe contient r occurrences de la lettre “c”, dont en derni`ere position. Les autres symboles ne peuvent ˆetre que “a” ou “b“. Combien de mots de passe de longueurn pourraient ˆetre celui de Raymond ?

Probl`eme 8 Afin de pouvoir mieux organiser les nombreux fichiers associ´es `a un logiciel (fichiers de donn´ees, de code, ...), on impose un nouveau syst`eme pour nommer ceux-ci. Dans un tel syst`eme, un nom de fichier se compose d’un identificateur et d’une extension reli´es par un point. Un identificateur de fichier comporte de 1 `a 5 caract`eres dont le premier est une lettre, les caract`eres suivants sont soit une lettre soit un chiffre. Une extension comporte de 1 `a 3 caract`eres, le premier est une lettre, les suivants une lettre ou un chiffre. De fa¸con `a ne pas avoir des noms trop impronon¸cables, on n’utilise que 20 lettres de A `a T, toutes en minuscule.

a) Combien d’identificateurs de fichiers peut-on avoir ? b) Combien de noms de fichier existe-t-il ?

c) Les fichiers dont l’extension commencent par la lettre “d” sont des fichiers de donn´ees. Combien de possibilit´es y a-t-il pour nommer les fichiers de donn´ees ?

Probl`eme 9 Calculer le nombre de diagonales d’un polygone `a n≥3 cˆot´es. Existe-t-il un polygone o`u le nombre de cˆot´es soit ´egal au nombre de diagonales ?

Probl`eme 10 4 composants ´el´ectroniques de typeA, 3 composants de type Bet 5 composants de type Cdoivent ˆetre mont´es en s´erie. La seule contrainte au fonctionnement du syst`eme est que les composants de mˆeme type doivent rester group´es. Combien de dispositions peut-on imaginer ?

Probl`eme 11 Il faut r´epartir 14 ordinateurs dans deux bureaux de 7 personnes chacun. Combien y a-t-il de r´epartitions possibles entre les deux bureaux

a) en supposant que la r´epartition au sein des bureaux a de l’importance ? b) en supposant que la r´epartition au sein des bureaux est sans importance ?

Probl`eme 12 Quatre bits sont transmis `a travers un canal. On regarde `a la r´eception l’´etat de ces quatre bits, dans l’ordre de r´eception. Chaque bit est soit correctement re¸cu, soit re¸cu avec erreur de transmission. On notedun bit re¸cu sans erreur eteun bit re¸cu avec erreur.

a) Quel est l’ensemble fondamentalΩpour cette exp´erience al´eatoire ? b) Lister les ´ev´enements tels que au plus un bit soit re¸cu avec erreur.

c) D´enombrer les ´ev´enements tels que plus de la moiti´e des bits soient transmis avec erreur.

Probl`eme 13 Un contrˆole de qualit´e est effectu´e chaque heure sur des cartes `a puce. A chaque test, la carte `a puce test´ee est class´ee selon son bon ou mauvais fonctionnement. Le contrˆole s’arrˆete lorsque deux cartes `a puce cons´ecutives sont d´efectueuses, ou lorsque quatre cartes `a puces ont ´et´e test´ees. Quel est l’ensemble fondamentalΩde cette exp´erience ?

Probl`eme 14 Dans une fabrique de processeurs, on pr´el`eve toutes les heures les trois derniers processeurs produits et on note dans l’ordre de pr´el`evement l’´etat de ces trois processeurs. Chacun est class´e dans une des deux categories : en ´etat de marche, cod´e 1, et d´efectueux, cod´e 0.

a) D´ecrivez l’espace fondamental associ´e `a cette exp´erience al´eatoire.

b) D´ecrivez (en termes ensemblistes) les ´ev´enements suivants : i) le premier processeur est d´efectueux,

ii) le dernier processeur est en ´etat de marche, iii) deux processeurs sont d´efectueux,

iv) au moins deux processeurs sont en ´etat de marche.

Probl`eme 15 Un disque dur a 1% de chance de tomber en panne. Par cons´equent, il est muni de deux backups, chacun ayant 2% de chance de tomber en panne. L’information est perdue uniquement lorsque les trois composants sont en panne. En supposant que les trois composants fonctionnent ind´ependamment les uns des autres, quelle est la probabilit´e que l’information soit sauv´ee ?

Probl`eme 16 Trois terminaux sont reli´es `a un ordinateur via 2 lignes de communication. Le terminal 1 a sa propre ligne alors que les terminaux 2 et 3 partagent une ligne de telle sorte qu’`a chaque instant un seul de ces deux terminaux peut ˆetre utilis´e. Durant une journ´ee de travail, le terminal 1 est utilis´e 30 minutes chaque heure, le terminal 2 est utilis´e 10 minutes chaque heure et terminal 3 est utilis´e 5 minutes chaque heure. En supposant que les lignes de communication op`erent de mani`ere ind´ependantes, quelle est la probabilit´e qu’au moins un terminal soit op´eratif `a un moment quelconque de la journ´ee de travail ?

Probl`eme 17 Quelle est la probabilit´e pour que l’´ecriture d´ecimale d’un nombre entier tir´e au hasard entre 0 et 9999 comporte au moins une fois le chiffre 1 ?

Indication : utiliser la formule d’inclusion-exclusion.

Probl`eme 18 Au jeu de loto, sous contrˆole d’un huissier, 6 num´eros parmi 49 num´eros de 1 `a 49 sont tir´es au hasard. Un joueur de loto doit jouer 6 num´eros distincts (on ignore ici la notion de “num´ero compl´ementaire”). On dit qu’on a gagn´e la cagnotte si les 6 num´eros jou´es correspondent aux 6 num´eros tir´es.

a) Quel est l’espace fondamental associ´e aux tirages ? b) Quelle est la probabilit´e de gagner la cagnotte ?

c) La soci´et´e organisatrice du loto envisage de passer de 49 num´eros `a 60 num´eros avec un tirage de 8 num´eros plutˆot que 6. Aura-t-on plus de chances de gagner la cagnotte ?

Probl`eme 19 Sophie veut parier `a une course de chevaux mais n’a aucune id´ee des performances des jockeys et chevaux. Elle d´ecide donc de parier au hasard.

a) Sophie a-t-elle plus de chance de trouver les 3 chevaux de tˆete dans l’ordre lors d’une course de 17 chevaux, ou les 4 premiers chevaux dans l’ordre lors d’une course de 18 chevaux ?

b) Mˆeme question que pr´ec´edemment mais dans le d´esordre.

Probl`eme 20 Des bits sont envoy´es `a la suite sur un canal. Un bit donn´e prend la valeur 1 avec la probabilit´ep. Les bits envoy´es sont ind´ependants.

a) On enregistre deux bits `a la suiteb0 et b1.

i) Quelle est la probabilit´e que les deux bits aient des valeurs diff´erentes ?

ii) Quelle est la probabilit´e que le second bit soit ´egal `a 1 si le premier est ´egal `a 0 ? b) On note maintenant la valeur de quatre bits envoy´es `a la suite.

i) Trouver la probabilit´e d’avoir au moins deux bits ´egaux `a 1 parmi les quatre.

ii) Trouver la probabilit´e d’avoir au moins deux bits ´egaux `a 1 et le quatri`eme bit `a 0.

Probl`eme 21 Un logiciel libre programm´e par un ´etudiant de l’EPFL contient 5 bugs, r´epartis uni- form´ement dans le code. Le code comporte 10 000 lignes dont 3000 de commentaire. Une certaine ex´ecution du logiciel passe par 1/3 des lignes ex´ecutables. Quelle est la probabilit´e que le programme s’ex´ecute cor- rectement ?

Probl`eme 22 nr´esistances sont install´ees en s´erie, dont les r´esistancesAet B.

a) D´ecrire l’ensemble fondamental associ´e `a cette exp´erience, et en donner le nombre d’´el´ements.

b) Quelle est la probabilit´e qu’il y ait kr´esistances plac´ees entreA etB (0≤k≤n−2) ? c) V´erifier votre r´esultat pour n= 3 en explicitant tous les cas possibles.

Probl`eme 23 Le Daily Mail du 13 octobre 2010 rapporte que la famille Allali (Angleterre) vient juste d’avoir son troisi`eme enfant et que, fait surprenant, ses trois enfants sont tous n´es le mˆeme jour (un 7 octobre, en 2005, 2007 et 2010). Le journaliste affirme qu’il y a moins d’une chance sur 48 millions que trois enfants d’une famille (ni jumeaux, ni triplets) naissent un mˆeme jour. Que pensez-vous de cette affirmation ?

Probl`eme 24 Vous venez d’installer un module de d´etection de courriers ind´esirables dans votre client de courrier ´electronique. Le module r´eussit `a identifier les courriers ind´esirables dans 99% des cas. N´eanmoins le module annonce qu’un message est ind´esirable alors qu’il ne l’est pas dans 2% des cas. Les statistiques officielles indiquent que 10% des courriers ´electroniques re¸cus sont ind´esirables. Quelle est la probabilit´e qu’un message soit effectivement ind´esirable lorsque le module indique que c’est le cas ?

Probl`eme 25 A un test de fin d’ann´ee, trois ´el`eves, Alain, Boris et Charles, ont oubli´e de mettre leur nom sur les copies. Le professeur sait quels sont ces trois ´el`eves mais ne sait pas quelle copie appartient `a chacun d’entre eux. Il estime n´eanmoins que Alain a 80% de chance d’avoir r´eussi l’examen, Boris 70% et Charles 60%. Apr`es correction des trois copies, il s’av`ere que deux ont r´eussi l’examen et un l’a ´echou´e.

En supposant que les ´etudiants ont travaill´e ind´ependamment, quelle est la probabilit´e que ce soit Charles qui ait ´echou´e `a l’examen ?

Probl`eme 26 L’envoi d’un paquet du serveur S1 au serveur S2 sur internet passe par deux routeurs interm´ediaires R1 et R2. La probabilit´e que le paquet se perde sur chaque segment du chemin S1 → R1→R2→S2est p. On constate, au niveau du serveurS2la perte du paquet. Quelle est la probabilit´e qu’il ait ´et´e perdu au niveau deS1? deR1? deR2?

Probl`eme 27 Un routeur re¸coit l’essentiel des paquets qu’il fait transiter depuis deux autres routeurs R1 et R2, en proportion ´equilibr´ee. On constate qu’environ un paquet sur 200 est endommag´e lorsque ceux-ci proviennent deR1, alors que seulement un paquet sur 1000 est endommag´e lorsqu’ils proviennent deR2. On consid`ere un paquet re¸cu de l’un de ces deux routeursR1 ouR2. Le paquet inspect´e n’est pas endommag´e. Quelle est la probabilit´e qu’il provienne deR1?

Probl`eme 28 100 programmes informatiques sont test´es contre diverses sources d’erreurs. Il est trouv´e que 20 d’entre eux ont des erreurs de syntaxe, 10 des erreurs d’entr´ee/sortie qui ne sont pas des erreurs de syntaxe, 5 ont d’autres types d’erreurs, 6 ont `a la fois des erreurs de sytaxe et des erreurs d’entr´ee/sortie, 3 ont des erreurs de syntaxe ainsi que d’autres types d’erreur et un seul a les trois types d’erreur. Un programme est s´electionn´e al´eatoirement parmi ces 100 programmes.

a) Exprimer sous forme de probabilit´es les quantit´es donn´ees dans l’´enonc´e.

b) Quelle est la probabilit´e que le programme s´electionn´e ait des erreurs de syntaxe ou des erreurs d’entr´ee/sortie ou les deux ?

c) On sait que le programme s´electionn´e a une erreur de syntaxe. Quelle est la probabilit´e qu’il ait

´egalement une erreur d’entr´ee/sortie ?

Probl`eme 29 Des requˆetes sont effectu´ees sur des serveurs via 5 lignes de communication. Les lignes de communication ne sont pas utilis´ees ´egalitairement : les pourcentages des requˆetes envoy´ees sur les lignes 1, 2, 3, 4 et 5 sont respectivement de 20, 30, 10, 15 et 25. De plus la ligne sur laquelle est envoy´ee la requˆete d´epend de la longueur de la requˆete : la probabilit´e qu’une requˆete exc`ede 100 caract`eres sur les lignes 1 `a 5 est respectivement de 0.4, 0.5, 0.6, 0.2 et 0.8. Quelle est la probabilit´e qu’une requˆete quelconque exc`ede 100 caract`eres ?

Probl`eme 30 On tire au hasard deux chiffres entre 0 et 9. Quelle est la probabilit´e que le premier chiffre soit 6, sachant que la somme des deux est 6 ?

Probl`eme 31 Un magasin d’´electronique a remarqu´e que la probabilit´epn quenclients entrent dans le magasin un jour donn´e estpⁿ(1−p),n= 0,1, . . .. De plus, lorsqu’un client visite le magasin, il en ressort avec un achat deux fois sur trois. N´eanmoins, le client n’est pas satisfait de cet achat et le rapporte au magasin une fois sur quatre. On suppose que le fait d’acheter un produit et le fait d’en ˆetre satisfait sont des ´ev´enements ind´ependants.

a) Quelle est la probabilit´e qu’un client ach`ete un produit et en soit satisfait ?

b) Si on sait quek produits vendus n’ont pas ´et´e rapport´es au magasin, montrer que la probabilit´e conditionnelle que le magasin ait re¸cu la visite denclients est donn´ee par

C_n^kp^n−k(2−p)^k+1/2ⁿ⁺¹, n≥k.

Probl`eme 32 La probabilit´e pour que la dur´ee de vie d’un composant d´epasse 10 000 heures est de 80%

et on admet que les pannes des diff´erents composants sont ind´ependantes.

a) Avec 3 composants, on r´ealise un montage “en s´erie”. Il suffit que l’un des composants tombe en panne pour que le syst`eme ne fonctionne plus. Quelle est la probabilit´e pour que celui-ci fonctionne au moins 10000 heures ?

b) Avec les mˆemes composants que pr´ec´edemment, on r´ealise un deuxi`eme montage “en parall`ele”.

Dans ce cas pour que le syst`eme ne fonctionne plus il faut que tous les trois composants soient en panne.

i) Quelle est la probabilit´e pour que le syst`eme fonctionne au moins 10000 heures ?

ii) Sachant que le syst`eme, qui a ´et´e sous tension 10000 heures, est en ´etat de fonctionnement, quelle est la probabilit´e qu’un composant au moins soit d´efectueux ?

Probl`eme 33 Dans une assembl´ee de n personnes, on doit constituer un comit´e des personnes puis d´esigner un pr´esident parmi celles-ci. Lesnpersonnes n’arrivant pas `a se mettre d’accord pour former le comit´e, elles d´ecident apr`es des heures de d´ebat de proc´eder par tirage au sort, aussi bien pour d´esigner less personnes du comit´e que son pr´esident. M. Truc, membre de l’assembl´e, n’est pas le pr´esident du comit´e. Quelle est est la probabilit´e que celui-ci fasse n´eanmoins partie du comit´e ?

Probl`eme 34 On met au point un algorithme pour d´etecter si une page web ´ecrite en anglais est r´edig´ee par un natif (quelqu’un dont l’anglais est la langue maternelle). On ´evalue que 55% des pages web en anglais sont ´ecrites par des natifs. L’algorithme r´eussit `a d´etecter correctement que la page est ´ecrite par un natif dans 95% des cas lorsque la page est effectivement ´ecrite par un natif. Elle affirme cependant incorrectement que la page est ´ecrite par un natif alors que ce n’est pas le cas avec probabilit´e 1%.

Quelle est la probabilit´e qu’une page soit ´ecrite par un natif lorsque l’algorithme l’affirme ?

Probl`eme 35 Un ´etudiant passe un test sous la forme d’un questionnaire `a choix multiple ; pour chacune des questions pos´ees, il y a 5 r´eponses propos´ees, dont une seule r´eponse juste. Si l’´etudiant connaˆıt la r´eponse juste, il la choisit. Dans le cas contraire, il choisit une r´eponse au hasard parmi les 5 r´eponses propos´ees. L’´etudiant connait la r´eponse juste `a 70% des questions.

a) Quelle chance a l’´etudiant de r´epondre correctement `a une question donn´ee ?

b) Si pour une question l’´etudiant a r´epondu correctement, quelle est la probabilit´e qu’il ait r´epondu en connaissance de cause (c’est-`a-dire pas au hasard) ?

Probl`eme 36 Une requˆete peut ˆetre envoy´ee de mani`ere ´equiprobable sur six serveurs, quatre ´etant de typeX et deux serveurs ´etant de type Y. Deux requˆetes cons´ecutives ne peuvent pas ˆetre envoy´ees sur le mˆeme serveur. On consid`ere deux requˆetes cons´ecutives.

a) D´ecrire l’ensemble fondamentalΩde cette exp´erience stochastique.

b) D´efinissons les ´ev´enements suivants B1= “la premi`ere requˆete est envoy´ee sur un serveur de type X” etB2= “la seconde requˆete est envoy´ee sur un serveur de typeX”.

i) Calculer les probabilit´esP(B1),P(B2|B1), P(B2|B₁^c) et P(B2).

ii) V´erifier queP(B1∩B2) +P(B₁^c∩B2) +P(B1∩B₂^c) +P(B^c₁∩B₂^c) = 1.

Probl`eme 37 Vous ˆetes directeur de cabinet du ministre de la sant´e. Une maladie est pr´esente dans la population, dans la proportion d’une personne malade sur 10000. Un responsable d’un grand labo- ratoire pharmaceutique vient vous vanter son nouveau test de d´epistage : si une personne est malade, le test est positif `a 99%. Si une personne n’est pas malade, le test est positif `a 0.1%. Autorisez-vous la commercialisation de ce test ?

Probl`eme 38 On consid`ere le jeu de d´e suivant : pour participer au jeu, on mise 3 CHF. Puis on lance le d´e et on r´ecup`ere 15 CHF si le nombre obtenu est 6. Le jeu est-il en moyenne rentable ? A partir de quel gain pour l’obtention d’un 6 devriendrait-il rentable ?

Probl`eme 39 On consid`ere l’algorithme na¨ıf ci-dessous pour trouver le plus grand ´el´ement, not´e M, dans une liste non videLden´el´ements :

1. On initialise le maximumM avec la valeur du premier ´el´ement de la liste.

2. On parcourt ensuite la liste, du 2i`eme au dernier ´el´ement, et on affecte cet ´el´ement `aM si celui-ci est plus grand que la valeur courante de M.

Lors du traitement d’une liste de taillen:

a) Quel est le nombre de comparaisons effectu´ees ?

b) Quel est le nombre d’affectations `aM dans le cas le plus favorable ? le plus d´efavorable ?

Dans la suite, on suppose que les ´el´ements de la liste sont deux-`a-deux distincts et que les n! permu- tations possibles ont la mˆeme probabilit´e d’apparaˆıtre dans la liste. Soitp(n, k) la probabilit´e pour que, lors du d´eroulement de l’algorithme sur une liste (al´eatoire)Lde taillen,kaffectations soient n´ecessaires.

c) Montrer la r´ecurrence suivante, pour n≥2 etk≥1 : p(n, k) = 1

np(n−1, k−1) + n−1

n p(n−1, k) Indication : Raisonner selon que leni`eme ´el´ement est maximal ou non.

d) Soit En l’esp´erance math´ematique du nombre d’affectations effectu´ees lors du traitement d’une liste de taillen. D´eduire de la r´ecurrence ci-dessus la r´ecurrence surEn :

En= 1

n+En−1

et donner une approximation deEn (en fonction de n) lorsquen→+∞.

Probl`eme 40 SoitX une variable al´eatoire prenant ses valeurs dans les nombres naturels. Montrer que E(X) =!_∞

n=1P(X ≥n).

Probl`eme 41 On d´esire estimer le nombreNde poissons dans un lac sans avoir `a tous les compter. Une m´ethode pour cela est la m´ethode dite de lacapture-recapture: dans un premier temps,M poissons sont captur´es, marqu´es d’une certaine fa¸con pour les distinguer, puis relach´es dans le lac. Quelques minutes plus tard (le temps que les poissons aient pu se m´elanger), n poissons sont captur´es, et on note X le nombre de poissons qui sont marqu´es, parmi cesnpoissons.

(Cette m´ethode a ´et´e introduite par Laplace en 1768 pour estimer la population de la France.) a) Calculer la fonction de masse deX.

b) L’application de cette m´ethode au lac L´eman donneX=k. D´eterminer alors le nombre de poissons du lac L´eman, N, le plus probable, i.e. trouver ˆN maximisant la probabilit´e P(X = k) (on parle de maximum de vraisemblance).

c) Montrer que l’esp´erance de ˆN est infinie.

Probl`eme 42 Un joueur tourne une roue. A chaque essai, il a une probabilit´e 1−pde tomber sur une case lui rapportant 1 CHF etpde tomber sur la case banqueroute qui lui fera tout perdre et l’´eliminera du jeu. Il d´ebute avec une somme initiale nulle et souhaite atteindre un gainG0, apr`es quoi il quittera le jeu – s’il n’y a pas d´ej`a ´et´e contraint avant. Les r´esultats successifs obtenus en tournant la roue sont suppos´es ind´ependants.

a) Quelle est la probabilit´e que le joueur atteigne le gainG0qu’il s’´etait fix´e ? b) En d´eduire l’esp´erance du gain final.

Probl`eme 43 Une requˆete est envoy´ee sur un r´eseau. On suppose qu’il a une probabilit´ep∈[0,1] que cette requˆete re¸coive une r´eponse. Dans le cas contraire, la requˆete est renvoy´ee jusqu’`a ce qu’une r´eponse soit re¸cue. On noteT le nombre d’essais n´ecessaires `a cela. Donner la fonction de masse deT.

Probl`eme 44 Pour la nouvelle ann´ee, un fournisseur internet d´ecide de proposer une offre sp´eciale d’abonnement pour attirer de nouvels utilisateurs. Chaque nouvel utilisateur re¸coit l’offre sp´eciale avec une probabilit´e de 0.2. 20 nouvels utilisateurs s’inscrivent `a ce fournisseur internet. Par quelle loi peut-on mod´eliser le nombre d’entre eux qui b´en´eficient de l’offre sp´eciale ? Calculer la probabilit´e qu’au moins le quart d’entre eux en b´en´eficient.

Probl`eme 45 Un chef d’entreprise, pour ´eviter l’attente des camions venant livrer, envisage de construire de nouveaux poste de d´echargement. Actuellement, 5 postes sont en activit´e. Pour simplifier l’´etude, on consid`ere qu’il faut une journ´ee enti`ere pour d´echarger un camion. On d´esigne parX la variable al´eatoire mesurant le nombre de camions venant livrer chaque jour. Une enquˆete statistique pr´ealable a montr´e qu’on pouvait assimiler la loi deX `a une loi de Poisson de param`etre 4.

a) Quelle est la probabilit´e de n’avoir aucun camion en attente ?

b) Combien faudrait-il de postes de d´echargement pour porter cette probabilit´e `a plus de 0.9 ? Probl`eme 46 Un concierge rentre de soir´ee. Il dispose de n cl´es dont une seule ouvre la porte de son domicile mais il ne sait plus laquelle.

a) Il essaie les cl´es les unes apr`es les autres en ´eliminant apr`es chaque essai la cl´e qui n’a pas convenu.

Quelle est la probabilit´e que la porte ouvre apr`es leki`eme essai ?

b) En r´ealit´e la soir´ee a ´et´e bien arros´ee et le concierge ne pense pas `a mettre de cˆot´e la mauvaise cl´e apr`es l’avoir essay´ee. Donner la loi du nombre d’essais n´ecessaires pour trouver la bonne cl´e. Quelle est la probabilit´e que la porte ouvre apr`es leki`eme essai ?

Probl`eme 47 Pour l’´etude des sols d’une r´egion, on effectue des tests `a partir d’´echantillons pr´elev´es sur le terrain. Cinq ´echantillons doivent ˆetre soumis aux tests et on sait que la probabilit´e qu’un ´echantillon pr´elev´e s’av`ere ˆetre inad´equat (endommag´e par exemple) est de 0.2. Si l’on veut ˆetre assur´e de disposer de cinq ´echantillons utilisables avec une probabilit´e au moins ´egale `a 0.99, combien d’´echantillons faut-il pr´elever ?

Probl`eme 48 Une version avanc´ee d’un jeu sur console sort. 60% des joueurs ont pass´e tous les niveaux de la version pr´ec´edente. 30% d’entre eux d´ecident d’acheter la version avanc´ee alors que seulement 10%

des joueurs n’ayant pas pass´e tous les niveaux d´ecident de l’acheter.

a) Quelle est la probabilit´e qu’un joueur ach`ete la version avanc´ee du jeu ?

b) Sur 10 joueurs, quel est le nombre moyen de personnes achetant la version avanc´ee ? c) Quelle est la probabilit´e qu’au moins trois joueurs l’ach`etent ?

Probl`eme 49 La production d’un certain composant donne 5% de composants d´efectueux. On a besoin de 10 composants non d´efecteux pour 10 nouveaux ordinateurs. Les composants sont test´es jusqu’`a ce que 10 composants non d´efectueux soient trouv´es.

a) Quelle est la loi du nombreX de composants `a tester avant d’en trouver 10 fonctionnels ? b) Quelle est la loi du nombreY de composants fonctionels parmi 12 test´es ?

c) Calculer de deux fa¸cons, `a partir de a) et b), la probabilit´e que plus de 12 composants doivent ˆetre test´es pour en trouver 10 fonctionnels.

Probl`eme 50 On consid`ere une classe compos´ee deN ≥60 ´el`eves,Npair, qu’on regroupe al´eatoirement deux par deux. On s’int´eresse auxN/2 “couples” distincts ainsi form´es.

a) Donner la loi du nombre de “couples” ayant leur anniversaire le mˆeme jour, c’est-`a-dire au nombre de couples form´es de deux personnes n´ees un mˆeme jour de l’ann´ee (mais pas n´ecessairement une mˆeme ann´ee). On supposera pour simplifier qu’une ann´ee est compos´ee de 365 jours.

b) Calculer de deux fa¸cons, en fonction deN, la probabilit´e qu’au moins un couple ait son anniversaire le mˆeme jour .

Indication : utiliser l’approximation par la loi de Poisson (en la justifiant).

c) Quel doit ˆetre le nombre minimal d’´etudiants dans la classe pour que cette probabilit´e soit sup´erieure

`a 60% ? Faire le calcul de deux fa¸cons.

Probl`eme 51 A un instanttdonn´e,nserveurs cherchent `a envoyer une r´eponse chacun (nr´eponses au total pour les n serveurs) via n canaux de transmission ind´ependants. Ces canaux ´etant partag´es par d’autres serveurs, il y a une probabilit´epqu’un canal soit d´ej`a occup´e `a cet instant. Lorsqu’un serveur essaie d’envoyer une r´eponse sur un canal occup´e, l’envoi ´echoue et la r´eponse est mise en attente jusqu’au pas de temps suivant (t+1) lorsque le serveur retente l’envoi, et ainsi de suite jusqu’`a ce que lesnr´eponses aient ´et´e envoy´ees.

a) On consid`ere une r´eponse particuli`ere `a envoyer,