QUESTIONS COURTES

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QUESTIONS COURTES

1. Montrer que la fonctionF :x7→ 1

1 + e^−x v´erifie les propri´et´es d’une fonction de r´epartition.

2. D´eterminer la loi de la borne sup´erieureMn denvariables al´eatoires ind´ependantes de mˆeme loi de fonction de r´epartitionF.

3. ´Etudier la convergence en loi de la suite(

M_n−lnn)

n∈N^∗. SoitX une variable al´eatoire `a valeurs dansN.

1. Montrer que pour tout r´eel utel que |u|61,E(u^X) existe.

2. Montrer que pour tout|u|<1 :

1−E(u^X) 1−u =

+∑∞ k=0

P(X > k)u^k

SoitN une variable al´eatoire `a valeurs dansN; pour toutn∈N, on notepn =P(N =n).

SoitXune variable al´eatoire d´efinie sur le mˆeme univers Ω et telle que, pour toutn∈N(Ω), la loi conditionnelle deX sachant [N=n] est la loi uniforme sur{0,1, . . . , n}.

1. Comparer la loi deX et celle deN−X.

2. SiN suit une loi g´eom´etrique de param`etrep, calculerE(X).

SoitX une variable al´eatoire `a valeurs dansZ^∗, telle que

(∀n∈N^∗) P(X =−n) =P(X =n) = 1 2n(n+ 1) Pourn∈N^∗, on noteA_n l’´ev´enement [(X =−n)∪(X =n)].

Montrer que, pour toutn∈N^∗, la variable al´eatoireX admet une esp´erance conditionnelle relative `aAn. Etudier la convergence de la s´´ erie ∑

n≥0

EA_n(X)P(An).

La variable al´eatoireX admet-elle une esp´erance ?

Soient trois nombres complexesa, b, c. Calculer la matriceA⁷, avec : A=



1 +i√

3 a b

0 1−i√ 3 c

0 0 2





SoitA= (a_i,j)_1≤i,j≤n d´efinie para_i,j = 1 sii̸=j eta_i,i>1 pour touti.

Montrer queAest d´efinie positive, c’est-`a-dire queAest sym´etrique r´eelle telle que pour toutX ∈Rⁿ non nul,

tXAX >0.

Soitf un endomorphisme deR³ tel que Kerf et Imf ne sont pas suppl´ementaires.

A-t-on : [Kerf ⊂Imf ou Imf ⊂Kerf] ?

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Soientaet bdeux nombres r´eels etf :R→Rla fonction d´efinie par :∀x∈R, f(x) =ax+b+|x|. 1. A quelle condition suraetb la fonctionf est-elle bijective ?

2. On suppose cette condition remplie. Calculerf⁻¹(y) en fonction dey.

Soitf : [0,+∞[→Rune fonction continue v´erifiant :

∀x∈[0,+∞[,06f(x)6

∫ x 0

f(t)dt Soith: [0,+∞[→Rd´efinie parh(x) = e^−x

∫ x 0

f(t)dt.

1. Montrer que la fonctionhest d´ecroissante.

2. En d´eduire que la fonctionf est identiquement nulle.

Soit un r´eel aet f une fonction de classeC²(R,R), telle que

sup{|f^′′(t)|, t∈R}=M ∈R. On consid`ere la fonctionGd´efinie par :

G(x) =

∫ a+x a

f(u)du−xf(a+^x₂) 1. Interpr´eter g´eom´etriquement le nombre G(x), pourf positive etx >0.

2. Montrer queGest d´erivable surRet que :

∀x∈R, |G^′(x)|6M x² 4 3. En d´eduire que pour tout x∈R,|G(x)|6M|x|³

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